a) Với $m=-1 \Rightarrow m+1=0$. Phương trình đã cho trở thành phương trình bậc nhất: $x-3=0$ có nghiệm duy nhất $x=3$.
Với $m \neq -1 \Rightarrow m+1 \neq 0$. Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt thức:
$\Delta = (5m+6)^2-4(m+1).3(2m+3) \Rightarrow \Delta = m^2 $.
Vì $m^2\geq 0 \Rightarrow \Delta \geq 0 $ nên phương trình bậc hai luôn có nghiệm.
Vậy với mọi $m$ , phương trình đã cho luôn có nghiệm.
b) - Với $m \neq -1$ và $m \neq 0 \Rightarrow \Delta >0 $.
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
$x_1=\frac{5m+6+m}{2(m+1)}=3; x_2=\frac{5m+6-m}{2(m+1)}=\frac{2m+3}{m+1} $.
- Với $m=0 \Rightarrow \Delta =0. $
Phương trình trở thành $x^2-6x+9=0$ có nghiệm kép $x=3$.