Bài 106692

Question

Với $n$ là số nguyên dương lẻ không nhỏ hơn $3$. Chứng minh rằng với mọi $x\neq0$ ta luôn có:
$(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!})(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+...-\frac{x^n}{n!})<1$

score 0 · Answer 1

Đặt:
$f(x) =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}; g(x)=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+...-\frac{x^n}{n!}$
   $\Rightarrow F(x)=f(x).g(x)$.
Ta đi chứng minh $F(x)<1$ với $\forall x\neq 0$.
Ta có: $f^'(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=f(x)-\frac{x^n}{n!}$,
            $g^'(x)=-1+x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+...-\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=-g(x)-\frac{x^n}{n!}$.
   $\Rightarrow F^'(x)=f^'(x)g(x)+f(x)g^'(x)$
                     $=[f(x)-\frac{x^n}{n!}]g(x)+f(x)[-g(x)-\frac{x^n}{n!}]$
                     $=-\frac{x^n}{n!}[f(x)+g(x)]=-2\frac{x^n}{n!}[1+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}]$
    $\Rightarrow \begin{cases}F^'(x)>0; x<0 \\ F^'(x)<0 ; x>0 \end{cases}$.
Bảng biến thiên:

Vậy, ta được $F(x)<1 \forall x\neq 0$

Bài 106692

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106692

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan