Bài 106607

Question

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường: $d_{1}: \sqrt{ 3}x +y =0$ và $d_{2}: \sqrt{ 3}x-y=0$. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với $d_{1}$ tại A, cắt $d_{2}$ tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng $\frac{ \sqrt{ 3}}{2}$ và điểm A có hoành độ dương.

score 0 · Answer 1

Gọi $A(a; -1 \sqrt{ 3}) \in d_{1} \Rightarrow $ phương trình AC có dạng:
$x- \sqrt{ 3}y +c=0$ qua A
$\Leftrightarrow C=-4a$
$\Rightarrow AC: x- \sqrt{ 3}y-4a=0$
$\Rightarrow $ tọa độ C là nghiệm của hệ:
$\begin{cases} x- \sqrt{ 3}y=4a \\ \sqrt{ 3}x-y=0   \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=- \frac{ 4a}{2}=-2a \\ y=-\frac{ 4a \sqrt{ 3}}{2}=-2a \sqrt{ 3}   \end{cases} \Rightarrow C(-2a; -2a \sqrt{ 3})$
AB là đường thẳng qua A và vuông góc với $d_{2}:$ phương trình AB có dạng
$x+\sqrt{ 3}y+C=0$ qua A $\Leftrightarrow C=2a$
Phương trình AB: $x+ \sqrt{ 3}y+2a=0$
Tọa độ B là nghiệm của hệ: $\begin{cases}   \sqrt{ 3}x-y=0 \\ x+ \sqrt{ 3}y=-2a    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=- \frac{ a}{2} \\ y=- \frac{ a \sqrt{ 3}}{2}   \end{cases} \Leftrightarrow B(- \frac{ a}{2}; -\frac{ a \sqrt{ 3}}{2}$
$AB=\sqrt{ \left( - \frac{ a}{2}-a \right)^{2} + \left( -\frac{ a \sqrt{ 3}}{2}+ a \sqrt{ 3}   \right)^{2} }= a \sqrt{ 3}$
$BC= \sqrt{ \left( -2a+\frac{ a}{2} \right)^{2} + \left( -2a \sqrt{ 3}+ \frac{ a \sqrt{ 3}}{2}   \right)^{2} }=3a$
$S_{ABC}= \frac{ 1}{2}AB.BC= \frac{ 1}{2} a \sqrt{ 3}. 3a= \frac{ 3 a^{2} \sqrt{ 3}}{2}= \frac{ \sqrt{ 3}}{2}$
$\Rightarrow a^{2} = \frac{ 1}{3} \Rightarrow a= \frac{ \sqrt{ 3}}{3} \Rightarrow A( \frac{ \sqrt{ 3}}{3}; -1)$
$C( -\frac{ 2 \sqrt{ 3}}{3}; -2)$
$AC= \sqrt{ \left( -\frac{ 2 \sqrt{ 3}}{3}- \frac{ \sqrt{ 3}}{3} \right)^{2} + \left( -2+1 \right)^{2} }=2$
Gọi I là tâm của (T) thì $I(- \frac{ \sqrt{ 3}}{6}; - \frac{ 3}{2})$
Phương trình (T): $\left( x+ \frac{ \sqrt{ 3}}{6} \right)^{2} +\left( y+\frac{ 3}{2}\right)^{2} =1$

Bài 106607

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106607

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan