Bài 106318

Question

Cho không gian tọa độ $Oxyz$. Trên các nửa trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ lấy các điểm tương ứng $A(2a;0;0),B(0;2b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c>0$
a) Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ theo $a,b,c$
b) Tính thể tích khối đa diện $OABE$ theo $a,b,c$ trong đó $E$ là chân đường cao $AE$ trong tam giác $ABC$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/31/2012 11:43:51 AM

a) Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $\frac{x}{2a}+\frac{y}{2b}+\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow bcx+acy+2abz-2abc=0 $
Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là:
$h = \frac{{|0 + 0 + 0 - 2abc|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} + 4{a^2}{b^2}} }} = \frac{{2abc}}{{\sqrt {4{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}$

b) Tính thể tích khối đa diện $OABE$:
Ta có: $AE\bot (OAE)\Rightarrow BC\bot OE\Rightarrow BC\bot (OAE)\Rightarrow BC\bot OE$
Trong $\Delta BOC$ vuông tại $O$ ta có:
$BC^2=OB^2+OC^2=4b^2+c^2\Rightarrow BC=\sqrt{4b^2+c^2} $
$S_{BOC}=\frac{1}{2}OB.OC=\frac{1}{2}BC.OE \Rightarrow OE=\frac{OB.OC}{BC}=\frac{2bc}{\sqrt{4b^2+c^2} } $
Trong $\Delta BOC$ ta cũng có: $OB^2 =BE.BC\Rightarrow BE=\frac{OB^2}{BC}=\frac{4b^2}{\sqrt{4b^2+c^2} } $

Thể tích khối tứ diện $OABE$ là:
${V_{OABE}} = \frac{1}{3}AO.{S_{OBE}} = \frac{1}{3}.2a.\frac{1}{2}OE.BE = \frac{8}{3}.\frac{{a{b^3}c}}{{(4{b^2} + {c^2})}}$ (đvdt)

Bài 106318

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106318

1 Đáp án

Liên quan

Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mặt phẳng

Lý thuyết liên quan