Bài 105916

Question

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vuông góc $Oxy$ cho đường tròn $(C)$: $(x-1)^2+(y-2)^2=4$ và đường thẳng $d: x-y-1=0.$ Viết phương trình đường tròn$ (C')$ đối xứng với đường tròn $(C)$ qua đường thẳng $d$. Tìm tọa độ các giao điểm $(C)$ và $(C')$

phuongna · Answer 1 · 5/28/2012 11:56:57 AM

Từ $(C)$ :$(x-1)^2+(y-2)^2=4$ suy ra $(C)$ có tâm $I(1;2)$ và bán kính $ R=2$. Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;-1)$. Do đó đường thẳng $\triangle $ đi qua $ I(1;2)$ và vuông góc với $d$ sẽ nhận $\overrightarrow{n}=(1;-1)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình:
$\triangle:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}\Leftrightarrow x+y-3=0$
Tọa độ giao điểm $H$ của $ d $ và $\triangle $ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} x-y-1=0\\ x+y-3=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2\\ y =1\end{array} \right.\Rightarrow H(2;1)$
Gọi $J$ là điểm đối xứng với $I(1;2$) qua $d$. Khi đó:
$\left\{ \begin{array}{l} x_{J}=2x_{H}-x_{I}=3\\ y_{J}=2y_{H}-y_{I} =0\end{array} \right.\Rightarrow J(3;0)$
Vì $(C')$ đối xứng với $(C)$ qua $d$ nên $(C')$ có tâm là $J(3;0)$ và bán kính $R=2.$
Do đó $(C')$ có phương trình là:$(x-3)^2+y^2=4.$

Tọa độ các giao điểm của $(C)$ và $(C')$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} (x-1)^2+(y-2)^2=4\\ (x-3)^2+y^2=4\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-y-1=0\\(x-3)^2+y^2=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ 2x^2-8x+6=0\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1,y=0\\ x=3,y=2 \end{array} \right.$. Vậy tọa độ giao điểm của $(C)$ và $(C')$ là $A(1;0)$ và $B(3;2)$.

Bài 105916

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105916

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan