Bài 105910

Question

Cho phương trình : ${(x - 2)^{{\log _2}4(x - 2)}} = {2^\alpha }{(x - 2)^3}$
$1$. Giải phương trình với $\alpha = 2$
$2$. Xác định $\alpha $ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn :
$\frac{5}{2} \le {x_1} \le 4\,\,\, ;\,\,$ và $\frac{5}{2} \le {x_2} \le 4\,\,$

score 0 · Answer 1

${(x - 2)^{{\log _2}4(x - 2)}} = {2^\alpha }{(x - 2)^3} (1)$ ĐK $x>2$
$\Leftrightarrow log_24(x-2).log_2(x-2)=\alpha+3log_2(x-2)$
Đặt $t=log_2(x-2)$
$\Leftrightarrow (2+t).t=\alpha +3t\Leftrightarrow t^2-t-\alpha=0 (2)$
$1.$ Với $\alpha=2$ thì $(2)\Leftrightarrow t^2-t-2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = -1\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}log_2(x-2)=-1\\log_2(x-2) = 2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =\frac{5}{2} \\x =6\end{array} \right. $(TM)
$2.$ $(1)$ sẽ có $2$ nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $\frac{5}{2} \leq x_1\leq 4,\frac{5}{2} \leq x_2\leq 4$
$\Leftrightarrow 2$ nghiệm phân biệt của $(1)$ thỏa mãn $\frac{1}{2} \leq x_1-2\leq 2,\frac{1}{2} \leq x_2-2\leq 2$
$\Leftrightarrow (2)$ có $2$ nghiệm phân biệt $t_1,t_2$ thỏa mãn $-1\leq t_1=log_2(x-2)\leq 1;$
$-1\leq t_2=log_2(x-2)\leq 1$
$\Leftrightarrow \varphi(t)=t^2-t-\alpha$ có $2$ nghiệm phân biệt sao cho $-1\leq t_1,t_2\leq 1$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta =1+4\alpha>0 \\ \varphi(1)=-\alpha\geq 0\\\varphi(-1)=2-\alpha\geq 0\\-1<\frac{t_1+t_2}{2}=\frac{1}{2}<1 \end{cases} \Leftrightarrow -\frac{1}{4} <\alpha\leq 0$

Bài 105910

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105910

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan