Bài 105883

Question

Cho hàm số: $y = x^4 + 4x^3 + mx^2$
1) Với $m = 4$, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Chứng tỏ rằng đồ thị có trục đối xứng.
2) Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho đồ thị của hàm số có trục đối xứng.
3) Xác định $m$ sao cho ${x^4} + 4{x^3} + m{x^2} \ge 0$ khi $x \ge 1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/28/2012 8:50:33 AM

$1)$ Vẽ đồ thị dành cho bạn đọc.
Đặt $x = t - 1$ ta có
    $y = {(t - 1)^2}{(t + 1)^2} = {({t^2} - 1)^2}$
$ \Rightarrow y$ là hàm số chẵn của t $ \Rightarrow $ đồ thị hàm số có trục đối xứng $t = 0$ $ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số xuất phát có trục đối xứng $x = - 1$.

$2)$ Giả sử đồ thị hàm số
        $y = {x^4} + 4{x^3} + m{x^2}$
Có trục đối xứng $x = a$. Đặt $x = t + a$ thì $y(t)$ là hàm chẵn của t và có trục đối xứng $t = 0$.
Ta có
$y(t) = {(t + a)^4} + 4{(t + a)^3} + m{(t + a)^2} $
        $ = {t^4} + 4(a + 1){t^3} + (6{a^2} + 3a + m){t^2} + (4{a^3} + 12{a^2} + 2am)t + ({a^4} + 4{a^3} + m{a^2})$.
$y(t)$ là hàm chẵn của $t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 1 = 0\\
4{a^3} + 12{a^2} + 2am = 0
\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 1\\
m = 4
\end{array} \right.$

$3)$ Ta có
    ${x^4} + 4{x^3} + m{x^2} \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ge {\rm{1}}$
$ \Leftrightarrow - m < \frac{{{x^4} + 4{x^3}}}{{{x^2}}} = {x^2} + 4x = {(x + 2)^2} - 4 = f(x){\rm{, }}\forall {\rm{x}} \ge {\rm{1}}$
$ \Leftrightarrow - m \le \mathop {{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{inf}}(x)}\limits_{x \ge 1} = f(1) = 9 - 4 = 5 \Leftrightarrow m \ge - 5$

Bài 105883

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105883

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan