Bài 101528

Question

Cho hàm số $y = - x^3 + 3x + 2$ (C)
$a.$ Tìm $2$ điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm $M(-1; 3);$
$b.$ Tìm $2$ điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua đt $2x – y + 2 = 0$.

score 0 · Answer 1

a. Gọi $A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$, $B \in \left( C \right)$ là điểm đối xứng với A qua điểm $M\left( { - 1;3} \right)$
$ \Rightarrow B\left( { - 2 - {x_0};6 - {y_0}} \right)$
Vì $A,B \in \left( C \right)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_0} = - x_0^3 + 3{x_0} + 2\\
6 - {y_0} = - {\left( { - 2 - {x_0}} \right)^3} + 3\left( { - 2 - {x_0}} \right) + 2
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow 6 = - x_0^3 + 3{x_0} + 2 - {\left( { - 2 - {x_0}} \right)^3} + 3\left( { - 2 - {x_0}} \right) + 2\\
\Rightarrow 6x_0^2 + 12{x_0} + 6 = 0\\
\Rightarrow {x_0} = - 1 \Rightarrow {y_0} = 0
\end{array}$
Vậy 2 điểm cần tìm là: $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( { - 1;6} \right)$
b. Gọi $M\left( {{x_1};{y_1}} \right);N\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d
I là trung điểm của AB nên $I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)$, ta có $I \in d$
Có:       $\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = \frac{{\left( { - x_1^3 + 3{x_1} + 2} \right) + \left( { - x_2^3 + 3{x_2} + 2} \right)}}{2} = 2.\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + 2$
        $\begin{array}{l}
\Rightarrow - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 0\\
x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2 = 1
\end{array} \right.
\end{array}$

Lại có: $MN \bot d \Rightarrow \left( {{x_2} - {x_1}} \right).1 + \left( {{y_2} - {y_1}} \right).2 = 0$
        $\begin{array}{l}
\Rightarrow 7\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = 0\\
\Rightarrow x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 = \frac{7}{2}
\end{array}$
- Xét ${x_1} + {x_2} = 0$$ \Rightarrow {x_1} = \pm \sqrt {\frac{7}{2}} ;{x_2} = \mp \sqrt {\frac{7}{2}} $
- Xét $\left\{ \begin{array}{l}
x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2 = 1\\
x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 = \frac{7}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x_1^2 + x_2^2 = \frac{9}{4}\\
{x_1}{x_2} = \frac{5}{4}
\end{array} \right. \Rightarrow $ vô nghiệm
Vậy 2 điểm đối xứng của đồ thị hàm số là: $\left( {\sqrt {\frac{7}{2}} ;2 - \frac{1}{2}\sqrt {\frac{7}{2}} } \right);\left( { - \sqrt {\frac{7}{2}} ;2 + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{7}{2}} } \right)$

Bài 101528

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101528

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan