Bài 105655

Question

Cho $a_{1}<a_{2}<...<a_{13}$.Chứng minh rằng:
$\exists a_{k},a_{l} (1 \leq k,l\leq 13)$
$0<\frac{a_{k}-a_{l}}{1+a_{k}.a_{l}}<\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$

score 0 · Answer 1

Ta có: $a_{1}<a_{2}<...<a_{13}$
$\Rightarrow \exists \alpha _{i} (i=\overline {1,13}) $
mà $\frac{-\pi}{2}<\alpha_{1}<\alpha_{2}<...<\alpha_{13}<\frac{\pi}{2}$ sao cho:
$a_{1}=\tan\alpha_{1},a_{2}=\tan\alpha_{2},....,a_{13}=\tan\alpha_{13}$
$\Rightarrow \frac{-\pi}{2}<\alpha_{1}<\alpha_{2}<...<\alpha_{13}<\frac{\pi}{2}<\alpha_{1}+\pi$
Các điểm $\alpha_{2},\alpha_{3}...,\alpha_{13}$ chia đoạn $[\alpha_{1}.\alpha_{1}+\pi]$ thành $13$ đoạn,
do đó luôn tồn tại ít nhất một đoạn có độ dài $l\leq\frac{\pi}{13}<\frac{\pi}{12}$ vì $\tan(\alpha_{1}+\pi)=\tan\alpha_{1},$
và vai trò $13$ đoạn trên như nhau,nên ta có thể xem:
$0<\alpha_{2}-\alpha_{1}<\frac{\pi}{12}$
$\Rightarrow 0<\tan(\alpha_{2}-\alpha_{1})<\tan\frac{\pi}{12}$
$\Rightarrow 0< \frac{\tan\alpha_{2}-\tan\alpha_{1}}{1+\tan\alpha_{2}.\tan\alpha_{1}}<\tan\frac{\pi}{12}$
$\Rightarrow 0<\frac{a_{2}-a_{1}}{1+a_{2}.a_{1}}<\tan\frac{\pi}{12}$
Mà: $\tan\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{sin^2\frac{\pi}{12}}{cos^2{\frac{\pi}{12}}}}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{1+\cos\frac{\pi}{6}}}$$=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

Bài 105655

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105655

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan