Bài 105600

Question

Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $\begin{cases}a^2+b^2+c^2=2 (1) \\ ab+bc+ca=1 (2) \end{cases}$
Chứng minh rằng: $-\frac{4}{3} \leq a,b,c \leq \frac{4}{3}$

score 0 · Answer 1

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
   $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=4 \Leftrightarrow (a+b+c)^2=4$
Đặt: $S=a+b+c$, suy ra $a+b=S-c$
Từ $(2)$ suy ra: $ab=1-c(a+b)=1-c(S-c)=1-cS+c^2$
Vậy $a,b$ là nghiệm của phương trình: $t^2-(S-c)t+(1-cS+c^2)=0    (3)$
$(3)$ phải có nghiệm nên $\Delta \geq 0$
      $\Delta=(S-c)^2-4(1-cS+c^2)=-3c^2+2cS+S^2-4$
              $=-3c^2+2cS$ ( do $S^2=4$)
Do đó: $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow -3c^2+2cS \geq 0 \Rightarrow 2cS\geq 3c^2\geq0$
Vì vậy $S.c=|S.c|=|S|.|c|=2|c|$ (do $|S|=2$)
Vậy ta phải có: $-3c^2+4|c|\geq 0 \Rightarrow 4\geq 3|c| \Rightarrow |c| \leq \frac{4}{3}$ hay $-\frac{4}{3} \leq c\leq \frac{4}{3}$
Chứng minh tương tự, ta cũng được: $-\frac{4}{3} \leq a\leq \frac{4}{3}$. Vậy $-\frac{4}{3} \leq a,b\leq \frac{4}{3}$

Bài 105600

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105600

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan