Bài 105516

Question

Trong không gian tọa độ với hệ tọa độ Oxyz, cho họ mặt phẳng $(P_m)$ có phương trình:
$(P_m): 2x+y+z-1+m(x+y+z+1)=0$, m là tham số
1. Chứng minh rằng với mọi m, mặt phẳng $(P_m)$ luôn đi qua một đường thẳng (d) cố định
2. Tìm mặt phẳng $(P_m)$ vuông góc với mặt phẳng $(P_o)$
3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d)

score 0 · Answer 1

1. Gọi (d) là đường thẳng có phương trình :
$(d): \begin{cases}2x+y+z-1=0 \\ x+y+z+1=0 \end{cases}$
Dễ thấy, mặt phẳng $(P_m)$ thuộc chùm mặt phẳng tạo bởi trục (d)
Vậy $(P_m)$ luôn đi qua một đường thẳng (d) cố định
2. Mặt phẳng $(P_o)$ có phương trình:
$(P_o): 2x+y+z-1=0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_o}(2; 1; 1)$
Chuyển phương trình $(P_m)$ về dạng :
$(P_m): (2+m)x+(1+m)y+(1+m)z-1+m=0 (1)$
Khi đó $(P_m)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_m}=(2+m; 1+m; 1+m)$
Vì $(P_m)$ vuông góc với $(P_o)$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_o}=0 \Leftrightarrow 2(2+m)+1+m+1+m=0\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}$
Thay $m=-\frac{3}{2}$ vào (1) ta được $(P_{-\frac{3}{2}}): x-y-z+5=0$
3. Gọi $\overrightarrow{a}$ là vtcp của (d) ta có:
$$\overrightarrow{a}=(|\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{matrix}|)=(0; -1; 1) $$
Lấy một điểm A(2; 0; -3)$\in$(d).
Ta có: $\overrightarrow{OA}(2;0;-3), [\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{a} ]=(-3;-2;-2) $
Khi đó khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng (d) được cho bởi :
$d(A, (d))=\frac{|[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{a}]|}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{\sqrt{34}}{2}$

Bài 105516

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105516

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan