Bài 105511

Question

Chứng minh các bất đẳng thức:
$a/ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq \left( a+b   \right) \left( c+d \right) $
$b/ \frac{ a+b+c}{3} \leq \sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2} }{3}}$
$c/ \sqrt{ a^{2}+b^{2}}+ \sqrt{ c^{2}+d^{2}} \geq \sqrt{ \left( a+c \right)^{2} + \left(b+d    \right)^{2} }$
d/ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq 2 \left(   a+b+c \right) $
e/ $\frac{ |a+b|}{1+|a+b|| } \leq \frac{ |a|+|b|}{1+|a|+|b|}$

score 0 · Answer 1

$a/ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq \left( a+b   \right) \left( c+d \right) $
VP$= \left( a+b \right) \left( c+d   \right) = a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-ac-bc-bd$
$=\frac{ 1}{2} \left( a^{2} + c^{2} -2ac \right) + \frac{ 1}{2} \left( a^{2} + d^{2} -2ad   \right) +\frac{ 1}{2} \left( b^{2} + c^{2} -2bc   \right) $
$+ \frac{ 1}{2} \left( b^{2} +d^{2} -2bd   \right) $
$= \frac{ 1}{2} \left( a-c   \right)^{2} + \frac{ 1}{2} \left( a-d   \right)^{2} + \frac{ 1}{2} \left( b-c \right)^{2} + \frac{ 1}{2} \left( b-d \right)^{2} \geq 0 $
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq \left( a+b   \right) \left( c+d   \right) $
Có đẳng thức khi $a=b=c=d$

$b/ \frac{ a+b+c}{3} \leq \sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2} }{3}}$
$2ab \leq a^{2}+b^{2} $
$2ac \leq a^{2}+ c^{2} $
$2bc \leq b^{2} + c^{2} $
$a^{2} + b^{2} +c^{2} = a^{2} +b^{2} +c^{2} $
$\Leftrightarrow \left( a+b+c   \right)^{2} \leq 3 \left( a^{2} +b^{2} +c^{2}   \right) $
$\left( \frac{a+b+c }{3}   \right)^{2} \leq \frac{ a^{2} +b^{2} +c^{2} }{3} \Leftrightarrow \frac{ a+b+c}{3} \leq \sqrt{ \frac{ a^{2}+b^{2}+c^{2} }{3}} $
Có đẳng thức khi $a=b=c$

$c/ \sqrt{ a^{2}+b^{2}}+ \sqrt{ c^{2}+d^{2}} \geq \sqrt{ \left( a+c \right)^{2} + \left(b+d    \right)^{2} }$
Xuất phát từ $a^{2}.d^{2} +b^{2} c^{2} \geq 2abc $
$a^{2}+d^{2} +b^{2} +c^{2} \geq 2abcd$
$+$
$a^{2} c^{2} +b^{2} d^{2} = a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} $
$\Rightarrow c^{2} \left( a^{2} +b^{2}    \right) + d^{2} \left( a^{2} +b^{2}    \right) \geq \left( ac+bd   \right)^{2} $
$\Leftrightarrow \left( a^{2}+b^{2}   \right) \left( c^{2} +d^{2}   \right) \geq \left( ac+bd   \right)^{2} \Leftrightarrow 2 \sqrt{ \left( a^{2} +b^{2}    \right) \left( c^{2} +d^{2}   \right) }$
$\geq 2 \left( ac +bd    \right) $
$\Leftrightarrow \left( a^{2} + b^{2}   \right) + 2 \sqrt{ \left( a^{2} + b^{2}    \right) \left( c^{2} +d^{2}   \right) }+ c^{2} + d^{2}$
$ \geq a^{2}b^{2} +c^{2} +d^{2} +2ac +2bd$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{ a^{2} +b^{2} }+ \sqrt{ c^{2} +d^{2} } \right)^{2} \geq \left( a+c   \right)^{2} + \left( b+d   \right)^{2} $
$\Leftrightarrow \sqrt{ a^{2} +b^{2} } + \sqrt{ c^{2} +d^{2}} \geq \sqrt{ \left(a+c    \right)^{2} \left( b+d \right)^{2} } $

d/ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq 2 \left(   a+b+c \right) $
Xuất phát từ: $\left(   a-1 \right)^{2} + \left( b-1   \right)^{2} + \left( c-1   \right)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} +3 \geq 2 \left( a+b+c   \right) $
Có đẳng thức khi $a=b =c=1$

e/ $\frac{ |a+b|}{1+|a+b|| } \leq \frac{ |a|+|b|}{1+|a|+|b|}$

Từ: $|a+b| \leq |a|+|b|$
$+ |a+b| \left( |a|+|b| \right) = \left( |a|+|b|   \right) .|a+b|$
$\Rightarrow |a+b| \left(1+|a|+|b|    \right) \leq \left( |a|+|b|   \right) \left(1+|a+b|   \right) $
$\Leftrightarrow \frac{ |a+b|}{1+|a+b|} \leq \frac{ |a|+|b|}{1+|a|+|b|}$

Bài 105511

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105511

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan