Bài 105507

Question

Giải các bất phương trình sau:
a/

$\frac{ 4^{x}-2.2^{x}+8}{2^{1-x}}<8^{x}$
b/

$3^{x+1}< \frac{ 9^{4 x^{2} }}{ \sqrt{ 27}}$
c/

$5^{2x+1}+6^{x+1}>30+150^{x}$
d/

$2.3^{ x^{2} –x}. x^{2} – 5.3^{x+3}.x-54.3^{x} \geq 2 x^{2} . 3^{x+3}-5x. 3^{ x^{2} }-2.3^{ x^{2} –x}$

score 0 · Answer 1

a/

$\frac{ 4^{x}-2.2^{x}+8}{2^{1-x}}<8^{x}$

$\Leftrightarrow 4^{x}-2.2^{x}+8<2^{3x}.2^{1-x}$

$\Leftrightarrow 4^{x}-2.2^{x}+8<2.2^{2x}$

$\Leftrightarrow 2^{2x}+2.2^{x}-8>0$
Đặt

$2^{x}=t , t>0 \Rightarrow t^{2}+2t-8>0$

$\Leftrightarrow t<-4$ hay

$t>2$
Do

$t>0$ nên chọn

$t>2: 2^{x}>2 \Leftrightarrow x>1$
b/

$3^{x+1}<\frac{ 9^{4 x^{2} }} { \sqrt{ 27}}$

$\Leftrightarrow 9^{4 x^{2} }> 3^{x+1}.3^{ \frac{ 3}{2}} \Leftrightarrow 3^{8 x^{2} }> 3^{x+ \frac{ 5}{2}}$

$\Leftrightarrow 8 x^{2} > x+ \frac{ 5}{2} \Leftrightarrow 8 x^{2} –x - \frac{ 5}{2}>0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x< \frac{ 1}{2} \\ x> \frac{ 5}{8} \end{array} \right.$
c/

$5^{2x+1}+6^{x+1}>30+150^{x}$

$\Leftrightarrow 5^{2x+1}-5^{2x}. 6^{x}>40-6.6^{x}$

$\Leftrightarrow 5^{2x} \left( 5-6^{x} \right) >6 \left( 5-6^{x} \right)$

$\Leftrightarrow \left( 5-6^{x} \right) \left(5^{2x}-6 \right) >0$

$5=6^{x} \Leftrightarrow x = \log_{6 }{5}$

$5^{2x}=6 \Leftrightarrow x= \frac{ 1}{2}. \log_{5 }{6}= \log_{5 }{ \sqrt{ 6}}$
So sánh

$\log_{6 }{5}$ và

$\frac{ 1}{2}. \log_{5 }{6}$
Xét hiệu:

$\log_{6 }{5} - \frac{ 1}{2}. \log_{5 }{6}= \frac{ 1}{ \log_{5 }{6}}- \frac{ \log_{5 }{6}}{2}= \frac{ 2- \log_{5 }^{2}{6}}{2 \log_{ 5}{6} }$

$= \frac{ \left( \sqrt{ 2} + \log_{5 }{6}\right) \left( \sqrt{ 2}-\log_{5 }{6} \right) }{2\log_{5 }{6}}$ : cần xem dấu của

$\sqrt{ 2} -\log_{5 }{6}$

$\sqrt{ 2}- \log_{5 }{6} = \log_{5 }{\frac{5^{ \sqrt{ 2}} }{6}}:5^{ \sqrt{ 2}}>6 \Rightarrow \log_{5 }{\frac{5^{ \sqrt{ 2}} }{6}}>0$

$\Rightarrow \log_{6 }{5} > \log_{5 }{6}$

$\Rightarrow$ nghiệm cuẩ bất phương trình :

$\log_{5 }{\sqrt{ 6}}<x< \log_{6 }{5}$
d/

$2.3^{ x^{2} –x}. x^{2} – 5.3^{x+3}.x-54.3^{x} \geq 2 x^{2} . 3^{x+3}-5x. 3^{ x^{2} }-2.3^{ x^{2} –x}$

$\Leftrightarrow 2.3^{ x^{2} –x}. x^{2} + 5x.3^{ x^{2} –x}+2.3^{ x^{2} –x} \geq 2 x^{2} . 3^{ x+3}+5x.3^{ x+3}+2. 3^{x+3}$

$\Leftrightarrow 3^{ x^{2} –x} \left( 2 x^{2} +5x +2 \right) -3^{x+3} \left( 2 x^{2} +5x +2 \right) \geq 0$

$\Leftrightarrow \left( 3^{ x^{2} –x}- 3^{x+3} \right) \left(2 x^{2} +5x +2 \right) \geq 0$
•

$3^{ x^{2} –x}=3^{x+3} \Leftrightarrow x^{2} -2x-3=0 \Leftrightarrow x=-1; x=3$
•

$2 x^{2} +5x+2=0 \Leftrightarrow x=-2; x= -\frac{ 1}{2}$

$\Rightarrow$ nghiệm của bất phương trình là:

$x \geq -2; -1 \leq x \leq - \frac{ 1}{2}; x \geq 3$

Bài 105507

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105507

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan