Bài 105310

Question

Giải và biện luận theo tham số a các bất phương trình sau:
a/ $\sqrt{ a+ \sqrt{ x}}+ \sqrt{ a- \sqrt{ x}} \leq 2$
b/ $\sqrt{ x+a}- \sqrt{ \frac{ a^{2}}{x+a}}< \sqrt{ x+2a}$

score 0 · Answer 1

a/ $\sqrt{ a+ \sqrt{ x}}+ \sqrt{ a- \sqrt{ x}} \leq 2 (*)$
Điều kiện: $\begin{cases} x \geq 0 \\ a+ \sqrt{ x} \geq 0 \\ a- \sqrt{ x} \geq 0    \end{cases} $
•    Nếu $a<0$ thì $a - \sqrt{ x}<0: $ bất phương trình vô nghiệm.
•    Nếu $a=0$ thì $x=0$ là nghiệm duy nhất.
•    Nếu $a>0$ thì điều kiện : $0 \leq x \leq a^{2}$
$\Leftrightarrow a+ \sqrt{ x}+a- \sqrt{ x}+ 2 \sqrt{ a^{2}-x} \leq 4$
$\Leftrightarrow 2 \sqrt{ a^{2}-x} \leq 4 -2a \Leftrightarrow \sqrt{ a^{2}-x} \leq 2-a$
$\Rightarrow a>2: $ bất phương trình vô nghiệm.
•    Nếu $0 <a<2:$ bình phương hai vế:
$a^{2}-x \leq 4 -4a +a^{2} \Leftrightarrow x \geq 4 \left(a-1    \right) $
Kết luận: $a<0:$ Vô nghiệm.
$0 \leq a \leq 1:$ nghiệm $a \leq x \leq a^{2}$
$1<a<2 : $nghiệm $4 \left( a-1   \right) \leq x \leq a^{2}$
$a>2:$ vô nghiệm.

b/ $\sqrt{ x+a}- \sqrt{ \frac{ a^{2}}{x+a}}< \sqrt{ x+2a}$
Điều kiện: $\begin{cases} x>-a   \\   x \geq -2a \end{cases} $
Bất phương trình $ \Leftrightarrow x+a-|a|< \sqrt{ \left( x+2a \right) \left( x+a \right)}$
•    $a=0: \begin{cases} x>0 \\ x< \sqrt{ x^{2} }   \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}    x>0\\ x<x   \end{cases} $ Vô nghiệm.
•    $a<0:$ Điều kiện: $x \geq -2a$
Ta có bất phương trình : $x+a- \left( -a \right) < \sqrt{ \left( x+2a \right) \left(   x+a \right) }$
$\Leftrightarrow x+2a< \sqrt{ \left( x+2a   \right) \left(   x+a \right) }$
$\Leftrightarrow \left( x+2a \right)^{2} <0$
$ \Leftrightarrow x> -2a$
•    $a>0: $ điều kiện: $x>-a$
Ta có bất phương trình $x+a-a < \sqrt{ \left( x+2a   \right) \left( x+a   \right) }$
$\Leftrightarrow x< \sqrt{ \left( x+2a   \right) \left( x+a   \right) }$
•    Nếu $-a<x<0$ bất phương trình luôn nghiệm đúng.
•    Nếu $x \geq 0$ bình phương hai vế:
$x^{2} < \left( x+2a   \right) \left( x+a \right) \Leftrightarrow x^{2} < x^{2} +3ax +2 a^{2}$
$\Leftrightarrow x> - \frac{ 2a}{3}$ giao với $-a<x<0$ được $x>-a$
Kết luận:
$a=0:$ vô nghiệm.
$a<0: x> -2a$
$a>0: x>-a$

Bài 105310

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105310

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan