Bài 100993

Question

Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ để hệ sau có nghiệm $(x, y)$ thỏa mãn điều kiện $x \ge 4$
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x + \sqrt y = 3\\
\sqrt {x + 5} + \sqrt {y + 3} \le a
\end{array} \right.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 2:24:34 PM

Đặt $t = \sqrt x $ từ phương trình thứ nhất trong hệ và từ điều kiện $x \ge 4 \Rightarrow 2 \le t \le 3$
Phương trình thứ nhất $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 \le t \le 3\\
x = {t^2}\\
y = {t^2} - 6t + 9
\end{array} \right.$
Thế vào bất phương trình thứ hai ta có $\sqrt {{t^2} + 5} + \sqrt {{t^2} - 6t + 12} \le a \left( 2 \right)$
Đặt $f(t)$ = $\sqrt {{t^2} + 5} + \sqrt {{t^2} - 6t + 12} $
Hệ đã cho có nghiệm thỏa mãn $x \ge 4$$ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có nghiệm $t\in \left[ {2;3} \right] \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{2 \le t \le 3} f\left( t \right) \le a$

Ta có $f'\left( t \right) = \frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 5} }} + \frac{{t - 3}}{{\sqrt {{t^2} - 6t + 12} }}$
$f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t\sqrt {{t^2} - 6t + 12} = \left( {3 - t} \right)\sqrt {{t^2} + 5} $
$ \Leftrightarrow {t^2}\left( {{t^2} - 6t + 12} \right) = \left( {{t^2} - 6t + 9} \right)\left( {{t^2} + 5} \right) \Leftrightarrow t = \frac{{15 \pm \sqrt {135} }}{2}$

$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{2 \le t \le 3} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = 5$
Vậy hệ có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán nếu $a \ge 5$

Bài 100993

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100993

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan