Bài 105232

Question

Cho $\triangle ABC$ nhọn, chứng minh rằng:
a. $\tan A+\tan B+\tan C \geq \cot\frac{A}{2} +\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2} $.
b. $\sqrt{\tan A}+\sqrt{\tan B}+\sqrt{\tan C}\geq \sqrt{ \cot\frac{A}{2} }+\sqrt{ \cot\frac{B}{2} }+\sqrt{ \cot\frac{C}{2} }$

score 0 · Answer 1

a. Ta có: $\tan A+\tan B=\frac{\sin(A+B)}{\cos A.\cos B}=\frac{\sin(A+B)}{\displaystyle\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]} $
                                             $\geq \frac{2\sin(A+B)}{\cos(A+B)+1}\geq 2\tan\frac{A+B}{2} = 2\cot\frac{C}{2} $.
Tương tự, ta cũng có: $\tan B+\tan C \geq 2 \cot\frac{A}{2} $ và $\tan B+\tan C\geq 2 \cot\frac{B}{2} $.
Suy ra :$\tan A+\tan B+\tan C \geq \cot\frac{A}{2} +\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2} $.
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C \Leftrightarrow \triangle ABC$ đều.
b. Sử dụng bất đẳng thức Côsi và $\tan A.\tan B\geq \cot^2\frac{C}{2}$, ta được:
   $\tan A+\tan B\geq 2\sqrt{\tan A.\tan B} \geq 2.\cot \frac{C}{2} $
   $\Rightarrow (\sqrt{\tan A}+\sqrt{\tan B} )^2\geq 4.\cot^2 \frac{C}{2} \Leftrightarrow \sqrt{\tan A}+\sqrt{\tan B}\geq 2\sqrt{\cot \frac{C}{2} }$
Tương tự ta cũng có: $\sqrt{\tan B}+\sqrt{\tan A}\geq 2\sqrt{\cot \frac{A}{2} }$ và $ \sqrt{\tan A}+\sqrt{\tan C}\geq 2\sqrt{\cot \frac{B}{2} }$.
Suy ra: $\sqrt{\tan A}+\sqrt{\tan B}+\sqrt{\tan C}\geq \sqrt{ \cot\frac{A}{2} }+\sqrt{ \cot\frac{B}{2} }+\sqrt{ \cot\frac{C}{2} }$.
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C \Leftrightarrow \triangle ABC$ đều

Bài 105232

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105232

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan