Bài 105226

Question

$a,b,c$ là độ dài

$3$ cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

$pa^2+pb^2>pqc^2 (1)$ với mọi

$p,q$ thỏa mãn điều kiện

$p+q=1$ .
Ngược lại, chứng tỏ rằng nếu

$a,b,c$ là

$3$ độ dài thỏa mãn

$(1)$ ( với điều kiện đã nêu

$p,q$ ) thì

$a,b,c$ là độ dài

$3$ cạnh của một tam giác nào đó.

score 0 · Answer 1

Giải
Đặt

$M=pa^2+pb^2-pqc^2$ và vì

$p+q=1$ nên

$M=pa^2+(1-p)b^2-p(1-p)c^2=c^2p^2+(a^2-b^2-c^2)p+b^2$
Ta xem

$M$ là một tam thức bậc hai của

$p$
Lập

$\Delta=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2$

$= [a^2-b^2-c^2-2bc][a^2-b^2-c^2+2bc]$

$= [a^2-(b+c)^2][a^2-(b+c)^2]$

$= (a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)$

$\Rightarrow \Delta <0$ vì

$a+b+c$ là 3 cạnh của một tam giác thì:

$\begin{cases}a+b+c>0 \\ a+b-c>0 \\ a+c-b>0 \end{cases}$ và

$a-b-c<0$ vì

$a<b+c$
Tam thức

$M$ theo

$p$ có

$\Delta <0$ và hệ số góc của

$p^2$ lad

$c^2>0$

$\Rightarrow M>0$ với

$\forall p$ ( do đó với mọi

$q$ )
Vậy

$(1)$ đã được chứng minh với mọi

$p,q$ . Ngược lại, nếu

$a,b,c$ là ba độ dài thỏa mãn

$(1)$

$\Rightarrow M>0$ với

$\forall p \Rightarrow \Delta<0$ : nên :

$(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)<0$

$\Rightarrow -(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)<0$

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0 (2)$
Ba thừa số của

$(2)$ đều phải dương vì nếu có thừa số âm, chẳng hạn:

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b - c < 0}\\ {b + c - a < 0} \end{array}} \right\} \Rightarrow 2b<0$ điều này vô lí vì

$b$ là độ dài nên

$b>0$
Vậy từ

$(2)$ cho ta:

$\begin{cases}a+b-c>0 \\ b+c-a>0 \\ c+a-b>0 \end{cases}$

$\Rightarrow a,b,c$ là ba độ dài của một tam giác nào đó.

Bài 105226

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105226

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan