Bài 105226

Question

$a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $pa^2+pb^2>pqc^2 (1)$ với mọi $p,q$ thỏa mãn điều kiện $p+q=1$.
Ngược lại, chứng tỏ rằng nếu $a,b,c$ là $3$ độ dài thỏa mãn $(1)$ ( với điều kiện đã nêu $p,q$) thì $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh của một tam giác nào đó.

score 0 · Answer 1

Giải
Đặt $M=pa^2+pb^2-pqc^2$ và vì $p+q=1$ nên
      $M=pa^2+(1-p)b^2-p(1-p)c^2=c^2p^2+(a^2-b^2-c^2)p+b^2$
Ta xem $M$ là một tam thức bậc hai của $p$
Lập $\Delta=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2$
             $= [a^2-b^2-c^2-2bc][a^2-b^2-c^2+2bc]$
             $= [a^2-(b+c)^2][a^2-(b+c)^2]$
             $= (a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)$
$\Rightarrow \Delta <0$ vì $a+b+c$ là 3 cạnh của một tam giác thì:
   $\begin{cases}a+b+c>0 \\ a+b-c>0 \\ a+c-b>0 \end{cases}$ và $a-b-c<0$ vì $a<b+c$
Tam thức $M$ theo $p$ có $\Delta <0$ và hệ số góc của $p^2$ lad $c^2>0$
$\Rightarrow M>0$ với $\forall p$ ( do đó với mọi $q$)
Vậy $(1)$ đã được chứng minh với mọi $p,q$. Ngược lại, nếu $a,b,c$ là ba độ dài thỏa mãn $(1)$
$\Rightarrow M>0$ với $\forall p \Rightarrow \Delta<0$: nên : $(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)<0$
$\Rightarrow -(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)<0    $
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0    (2)$
Ba thừa số của $(2)$ đều phải dương vì nếu có thừa số âm, chẳng hạn:
$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{a + b - c < 0}\\
{b + c - a < 0}
\end{array}} \right\} \Rightarrow 2b<0$ điều này vô lí vì $b$ là độ dài nên $b>0$
Vậy từ $(2)$ cho ta: $\begin{cases}a+b-c>0 \\ b+c-a>0 \\ c+a-b>0 \end{cases}$
$\Rightarrow a,b,c $ là ba độ dài của một tam giác nào đó.

Bài 105226

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105226

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan