Thực hiện phép biển đổi tương đương :
4(sin2A+sin2B+sin2C)≤9⇔4sin2A+2(1−cos2B)+2(1−cos2C)≤9
⇔4sin2A−4cos(B+C).cos(B−C)≤5
⇔4(1−cos2A)+4cosA.cos(B−C)≤5⇔4cos2A−4cosA.cos(B−C)+1≥0
⇔[2cosA−cos(B−C)]2+1−cos2(B−C)≥0, luôn đúng.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\begin{cases} 2\cos A=\cos(B-C) \\ \cos^2(B-C)= 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2\cos A= \cos(B-C)\\ \sin (B-C)=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2\cos A=1 \\ B=C \end{cases}
\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow \triangle ABC đều.