Thực hiện phép biển đổi tương đương :
$4(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C) \leq9\Leftrightarrow 4\sin^2A+2(1-\cos2B)+2(1-\cos2C)\leq 9$
$\Leftrightarrow 4\sin^2A-4\cos (B+C).\cos(B-C)\leq 5$
$\Leftrightarrow 4(1-\cos^2A)+4\cos A.\cos(B-C)\leq5 \Leftrightarrow 4\cos^2A-4\cos A.\cos(B-C)+1 \geq 0$
$\Leftrightarrow [2\cos A-\cos(B-C)]^2+1-\cos^2(B-C)\geq 0$, luôn đúng.
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{cases} 2\cos A=\cos(B-C) \\ \cos^2(B-C)= 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2\cos A= \cos(B-C)\\ \sin (B-C)=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2\cos A=1 \\ B=C \end{cases}$
$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều.