Bài 105214

Question

Cho

$\triangle ABC$ . chứng minh rằng:

$2< \cos {\frac{A}{2}} +\cos {\frac{B}{2}} +\cos{\frac{C}{2}} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

score 0 · Answer 1

Ðặt

$T=\cos \frac{A }{ 2} +\cos \frac{ B}{ 2} +\cos \frac{ C}{ 2}$
Ta có:

$T=\frac{2}{\sqrt{3} }\left[ {\cos \frac{A}{2}. \frac{\sqrt{3} }{2} +\cos \frac{B}{2}. \frac{\sqrt{3} }{2} } \right]+\sqrt{3}\left[ {\frac{\cos \frac{A}{2} }{\sqrt{3} }.\sin \frac{B}{2} +\frac{\cos \frac{B}{2} }{\sqrt{3} }.\sin \frac{A}{2} } \right]$

$\leq \frac{1}{\sqrt{3} }\left[ {\left( {\cos ^2 \frac{A}{2}+\frac{3}{4} } \right) }+ \left( {\cos ^2 \frac{B}{2}+\frac{3}{4} } \right) \right] +$

$+\frac{\sqrt{3} }{2}\left[ {\left( {\frac{\cos ^2 \frac{A}{2} }{3}+ \sin ^2 \frac{B}{2} } \right) }+ \left ( \frac{\cos ^2 \frac{B}{2} }{3}+ \sin ^2 \frac{A}{2} \right ) \right]$

$=\frac{3 \sqrt{3} }{2}$
Dấu bằng xảy ra khi:

$A=B=C=60^0$ hay

$\Delta ABC$ đều.

score 0 · Answer 2

a. Chứng minh vế trái, ta có:

$0< \cos {\frac{A}{2}} ,\cos {\frac{B}{2}} ,\cos{\frac{C}{2}}<1$ nên :

$\cos {\frac{A}{2}} +\cos {\frac{B}{2}} +\cos{\frac{C}{2}}> \cos^2{\frac{A}{2}} +\cos^2{\frac{B}{2}} +\cos^2{\frac{C}{2}}$

$=\frac{1}{2}(1+\cos A+1+\cos B+1+\cos C)=\frac{1}{2}(3+\cos A+\cos B+\cos C)>\frac{4}{2}=2$
b. Chứng minh vế phải:
xét hàm số

$f(x)=\cos x$ với

$x\in (0,\frac{\pi}{2})$ , ta có:

$f^'(x)=-\sin x, f^{''}(x)=-\cos x\leq0, \forall x\in (0,\frac{\pi}{2})$
Vậy hàm số

$f(x)=\cos x$ là lồi trên

$(0,\frac{\pi}{2})$ , do đó: với

$\forall \frac{A}{2},\frac{B}{2},\frac{C}{2}\in(0,\frac{\pi}{2})$ , ta có:

$\frac {\displaystyle f(\frac{A}{2})+f(\frac{B}{2})+f(\frac{C}{2})}{3}\leq f(\frac{A+B+C}{6})\Leftrightarrow \frac{\displaystyle\cos{\frac{A}{2}}+ \cos{\frac{B}{2}}+ \cos{\frac{C}{2}}}{3}\leq \cos{\frac{\pi}{6}}$

$\Leftrightarrow \cos {\frac{A}{2}} +\cos {\frac{B}{2}} +\cos{\frac{C}{2}} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$ .
Dấu

$"="$ xảy ra khi và chỉ khi

$A=B=C\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều

Bài 105214

2 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105214

2 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan