|
|
a. Chứng minh vế trái, ta có: $0< \cos {\frac{A}{2}} ,\cos {\frac{B}{2}} ,\cos{\frac{C}{2}}<1$ nên :
$ \cos {\frac{A}{2}} +\cos {\frac{B}{2}} +\cos{\frac{C}{2}}> \cos^2{\frac{A}{2}} +\cos^2{\frac{B}{2}} +\cos^2{\frac{C}{2}}$
$=\frac{1}{2}(1+\cos A+1+\cos B+1+\cos C)=\frac{1}{2}(3+\cos A+\cos B+\cos C)>\frac{4}{2}=2$
b. Chứng minh vế phải:
xét hàm số $f(x)=\cos x$ với $x\in (0,\frac{\pi}{2})$, ta có:
$f^'(x)=-\sin x, f^{''}(x)=-\cos x\leq0, \forall x\in (0,\frac{\pi}{2})$
Vậy
hàm số $f(x)=\cos x$ là lồi trên $(0,\frac{\pi}{2})$, do đó: với
$\forall \frac{A}{2},\frac{B}{2},\frac{C}{2}\in(0,\frac{\pi}{2})$, ta
có:
$\frac {\displaystyle f(\frac{A}{2})+f(\frac{B}{2})+f(\frac{C}{2})}{3}\leq
f(\frac{A+B+C}{6})\Leftrightarrow \frac{\displaystyle\cos{\frac{A}{2}}+
\cos{\frac{B}{2}}+ \cos{\frac{C}{2}}}{3}\leq \cos{\frac{\pi}{6}}$
$\Leftrightarrow \cos {\frac{A}{2}} +\cos {\frac{B}{2}} +\cos{\frac{C}{2}} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều
|