Bài 105129

Question

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng $(d_1); (d_2)$ có phương trình:
$\begin{array}{l}
{d_1}:(a - b)x + y = 1\\
{d_2}:({a^2} - {b^2})x + ay = b
\end{array}$
Cho biết: ${b^2} = 4{a^2} + 1$
$a$. Xác định giao điểm của $(d_1), (d_2).$
$b$. Tìm tập hợp ($E$) các giao điểm của $d_1; d_2$ khi $a, b$ thay đổi.

score 0 · Answer 1

$a.$ Do giả thiết $b^2=4a^2+1\Rightarrow b^2>a^2\Rightarrow b\neq a$ và $b\neq 0$. Hệ có định thức
$D=b(b-a)\Rightarrow $ Hệ có nghiệm duy nhất $x=\frac{-1}{b} ;y=\frac{a}{b} $
Vậy giao điểm $I$ của $(d_1)$ và $(d_2)$ có tọa độ $(\frac{-1}{b} ,\frac{a}{b} )$
$b.$ $b^2=4a^2+1\Leftrightarrow 1=4(\frac{a}{b} )^2+(\frac{-1}{b} )^2\Leftrightarrow x_1^2+4y_1^2= 1$
Chú ý rằng $b^2=4a^2+1\geq 1\Rightarrow \frac{1}{b^2} \leq 1\Rightarrow -1\leq \frac{-a}{b} \leq 1\Rightarrow -1\leq x_1\leq 0$
$0<x_1\leq 1$ Lại có :
$\frac{a^2}{b^2} =\frac{a^2}{4a^2+1} <\frac{1}{4}\Rightarrow |\frac{a}{b} |<\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{-1}{2} <y_1<\frac{1}{2} $
Vậy tập các giao diểm $I$ của $(d_1)$ và $(d_2)$ là elíp $(E)$ với phương trình
$\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{(\frac{1}{2} )^2} =1$ bỏ đi đỉnh $B_1(0,\frac{-1}{2} )$ và $B_2(0,\frac{1}{2} )$

Bài 105129

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105129

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan