Bài 105076

Question

Cho $n \in N$ và $x \in (0;\frac{\pi}{2})$. Chứng minh rằng : $\tan^n x+\cot^n x\geq 2+n^2\cos^2 2x$

score 0 · Answer 1

+ $x=\frac{\pi}{4}$: BĐT hiển nhiên đúng
+ $0<x<\frac{\pi}{4}$: BĐT   $\Leftrightarrow (\cot^{\frac{n}{2}} x-\tan ^{\frac{n}{2}} x)^2 \geq n^2\cos^2 2x$
$\Leftrightarrow \cot^k x+\tan^k x \geq 2k\cos 2x$ (*) ( với $k=\frac{n}{2}$)
Xét   $f(x)=\cot^k x+\tan^k x - 2k\cos 2x , x \in (0;\frac{\pi}{4}]$
$f'(x)=-\frac{k}{\sin^2 x}.\cot^{k-1} x-\frac{k}{\cos^2 x}\tan^{k-1} x+4k\sin 2x$
$=-k[(\tan^{k-1} x+\cot^{k-1} x)+(\tan^{k+1} x+\cot^{k+1} x)-4\sin 2x]<0$
                                                     $\left ( do \begin{cases}\tan^{k-1} x+\cot^{k-1} x>2\\ \tan^{k+1} x+\cot^{k+1} x>2\\4\sin 2x<4 \end{cases} \right )$
$\Rightarrow f$ giảm trên $(0;\frac{\pi}{4})$ $ \Rightarrow   f(x)>f(\frac{\pi}{4}), \forall x \in (0;\frac{\pi}{4})$
$\Rightarrow $ (*) đúng
+ $\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}$: Ta có $t=\frac{\pi}{2}-x \in (0;\frac{\pi}{4})$
$\Rightarrow \tan^n x+\cot^n x=\tan^n t+\cot^n t>2+n^2.\cos^2 2t=2+n^2.\cos^2 2x$
Tóm lại, ta luôn có:
                $\tan^n x+\cot^n x>2+n^2.\cos^2 2x$
Dấu $"="$ xảy ra $ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}$

Bài 105076

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105076

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan