Bài 105017

Question

Cho phương trình $(5+2\sqrt{6} )^{tanx}+(5-2\sqrt{6} )^{tanx}=\alpha$
a) Giải phương trình với $\alpha = 10$
b) Giải và biện luận phương trình theo $\alpha $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 2:10:11 PM

a) $\alpha = 10;{t_1} = 5 - 2\sqrt 6 ,{t_2} = 5 + 2\sqrt 6 $. Do đó
$tg{\rm{x}} = {\log _{\left( {5 + 2\sqrt {} } \right)}}{t_1} = - 1 \Rightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi           \left( {k \in Z} \right)$
$tg{\rm{x}} = {\log _{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}}{t_2} = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi             \left( {k \in Z} \right)$

b) Đặt $t = {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{tg{\rm{x}}}}      \left( {t > 0,x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right)$, phương trình xuất phát trở thành:
    $f\left( t \right) = {t^2} - \alpha t + 1 = 0$
$\Delta = {\alpha ^2} - 4$

-   Với $\Delta < 0 \Rightarrow \left| \alpha \right| < 2$ $\Rightarrow (1)$ vô nghiệm

-   Với $\Delta = 0 \Rightarrow \alpha = \pm 2$
         Khi $\alpha = - 2 \Rightarrow t = - 1 < 0$: loại
         Khi $\alpha = 2 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow tg{\rm{x}} = 0 \Rightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$

-   Với $\Delta > 0 \Rightarrow \left| a \right| > 2$: (1) có hai nghiệm ${t_1} = \frac{{\alpha - \sqrt \Delta }}{2};{t_2} = \frac{{\alpha + \sqrt \Delta }}{2}$
         Khi $\alpha < - 2\Rightarrow $ $a = 1 > 0$
                  $f\left( 0 \right) = 1 > 0$            $ \Rightarrow {t_1},{t_2} < 0$ (loại)
                  $\frac{s}{2} = \alpha \frac{a}{2} = - 1 < 0$
         Khi $\alpha > 2$ vì ${t_1}{t_2} = 1$ và ${t_1}{t_2} = 1$ và ${t_1} + {t_2} = \alpha > 2$ nên ${t_1},{t_2} > 0$.

Vậy ta có
${\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{tg{\rm{x}}}} = {t_1} \Rightarrow tg{\rm{x}} = {\log _{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}}{t_1} = tg{\alpha _1} \Rightarrow x = {\alpha _1} + k\pi $    $\left( {k \in Z} \right)$
${\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{tg{\rm{x}}}} = {t_2} \Rightarrow tg{{\rm{x}}_2} = {\log _{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}}{t_2} = tg{\alpha _2} \Rightarrow x = {\alpha _2} + k\pi $    $\left( {k \in Z} \right)$

Bài 105017

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105017

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan