1. Ta có mặt phẳng (AA′D′D)//(BB′C′C) và AD′∈(AA′D′D),B′C∈(BB′C′C) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A′D và B′C bằng khoẳng cách giữa hai mặt phẳng song song (AA′D′D)va(BB′C′C) nghĩa là bằng AB=a (Lưu ý có thể thấy rằng đườngvuông góc chung của AD′ và B′C là đường nối các trung điểm của chúng)
2. Ta có AC và BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường, do đó
d(D,(AB'C))=d(B,(AB"C))
(kí hiệu d(M,P) là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)).
Mặt khác vì MA=\frac{3}{4}DA nên d(M,(AB'C))=\frac{3}{4} d(D,(AB'C))=\frac{3}{4} d(B,(AB'C))
Kẻ BH\bot AC,BK\bot B'H,ta cóAC\bot(BB'H) nên AC\bot BK\Rightarrow BK\bot (AB'C)
do đó d(M,(AB'C))=\frac{3}{4} BK (1)
Trong tam giác vuông ABC có
\frac{1}{BH^2} =\frac{1}{BA^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{a^2} +\frac{1}{4a^2}=\frac{5}{4a^2}
Trong tam
giác vuông BB’H:
\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BH^2}+\frac{1}{BB’^2}=\frac{5}{4a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{9}{4a^2}\Rightarrow
BK=\frac{2a}{3}
Vậy d(M,(AB'C))=\frac{3}{4} BK=\frac{3}{4}.\frac{2a}{a} =\frac{a}{2}
3. Tính thể tích tứ diện AB'D'C
Nối BD' cắt B'O tại E ta có:
\frac{D'E}{EB} =\frac{B'D'}{BO} =2 (vì B'D'//BO)
\Rightarrow d(D',(AB'C))=2d(B,(AB'C))
\Rightarrow V_{D'.AB'C}=2V_{B.AB'C} (hai hình chóp có chung đáy AB'C)
Ta có
V_{B.AB'C}=\frac{1}{3} BB'.S_{ABC}=\frac{1}{6} BB'.BA.BC=\frac{1}{6} a.a.2a=\frac{a^3}{3} (đvdt)
ĐS : V=\frac{2a^3}{3}