Bài 104989

Question

Giải và biện luận phương trình: $\sqrt {{x^2} - 2m} + 2\sqrt {{x^2} - 1} = x$

thọ oi, em có thể giải bài toán này chi tiết hơn được ko? chị bỏ toán lâu quá nên bài tập này chị chưa hiểu hết. thanks em nhiều

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 10:26:24 AM

Điều kiện của nghiệm : ${x^2} \ge 2m,{x^2} \ge 1$
Vì $x \le 0$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho nên phương trình đã cho tương đương với:
    $\sqrt {1 - \frac{{2m}}{{{x^2}}}} + 2\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} = 1$                $(1)$
Đặt $u = \sqrt {1 - \frac{{2m}}{{{x^2}}}} \ge 0,v = \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \ge 0$, khi đó
$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u + 2v = 1\\
2m{v^2} - {u^2} = 2m - 1\\
u,v \ge 0
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow u = 1 - 2v \ge 0 \Rightarrow 0 \le v \le \frac{1}{2}$ và   $\left( {m - 2} \right){v^2} + 2v - m = 0$
Do $\left( {m - 2} \right) + 2 - m = 0$ nên $v = 1$ (loại) , $v = \frac{m}{{2 - m}}\left( {m \ne 2} \right)$

Để hệ có nghiệm cần có:
    $0 \le \frac{m}{{2 - m}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow 0 \le m \le \frac{2}{3}$
Từ đó $v = \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} = \frac{m}{{2 - m}} \Rightarrow 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {2 - m} \right)}^2}}}$
$ \Rightarrow \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{4\left( {1 - m} \right)}}{{{{\left( {2 - m} \right)}^2}}} \Rightarrow x = \frac{{2 - m}}{{2\sqrt {1 - m} }}$ ( thỏa mãn điều kiện nghiệm)

Kết luận: $m < 0$ hoặc $m > \frac{2}{3}$: phương trình đã cho vô nghiệm;
$0 \le m \le \frac{2}{3}$: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{{2 - m}}{{2\sqrt {1 - m} }}$

Chú ý : Có thể đặt $t = \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} $ để xét phương trình ẩn $t$

Bài 104989

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104989

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan