Bài 104976

Question

Giải và biện luận theo tham số $m$ phương trình: $| x^2 + x + m| = - x^2 + x + 2$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 9:56:52 AM

Điều kiện của nghiệm : $ - {x^2} + x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2$. Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với.
$\begin{array}{l}
      {\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} = \left( { - {x^2} + x + 2} \right) \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} - \left( { - {x^2} + x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2{{\rm{x}}^2} + m - 2} \right)\left( {2{\rm{x}} + m + 2} \right) = 0
\end{array}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + m + 2 = 0\\
2{{\rm{x}}^2} + m - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{{m + 2}}{2}{\rm{          (1)}}\\
{x^2} = \frac{{2 - m}}{2}{\rm{           (2)}}
\end{array} \right.$
$(2)$ có nghiệm rằng $ \Leftrightarrow 2 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2$. Khi đó nghiệm của $(2)$ là:
    ${x_1} = - \sqrt {\frac{{2 - m}}{2}} ,{x_2} = \sqrt {\frac{{2 - m}}{2}} $
Dễ nhận thấy rằng ${x_2} \ge - 1,{x_1} \le 2$.
Do đó ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình đã cho ta cần có ${x_2} \le 2,{x_1} \ge - 1$

a) ${x_2} \le 2 \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{2 - m}}{2}} \le 2 \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{2} \le 4 \Leftrightarrow - 6 \le m \le 2$

b) ${x_1} \ge - 1 $
   $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - \sqrt {\frac{{2 - m}}{2}} \ge - 1 \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{2 - m}}{2}} \le 1\\
\Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{2} \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2
\end{array}$
để $(1)$ là nghiệm của phương trình đã cho ta cần có
    $ - 1 \le - \frac{{m - 2}}{2} \le 2 \Leftrightarrow - 6 \le m \le 0$
Kí hiệu nghiệm này là ${x_3} = - \frac{{m + 2}}{2}$.

Vậy ta có:
i) $m < - 6$ hoặc $m > 2$: phương trình đã cho vô nghiệm
ii) $m = - 6$: phương trình đã cho có một nghiệm kép ${x_2} = {x_3} = 2$
iii) $ - 6 < m < 0$: phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_2},{x_3}$
iiii) $0 \le m \le 2$: phương trình đã cho có 3 nghiệm. ${x_1},{x_2},{x_3}$

Bài 104976

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104976

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan