Bài 104924

Question

a) Cho $0< x_1,x_2,...,x_n<\frac{\pi}{2}, n\geq 2$
Chứng minh rằng: $\frac{\tan x_1+...+\tan x_n}{n}\geq \tan \left ( \frac{x_1+...+x_n}{n} \right )$

b) Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng: $ \tan\frac{A}{2}+ \tan\frac{B}{2}+ \tan\frac{C}{2}\geq \sqrt{3}$

score 0 · Answer 1

a) Xét $f(x)=\tan x, x \in (0;\frac{\pi}{2})$
$f'(x)=1+\tan^2 x$
$ f''(x)=2\frac{\tan x}{\cos^2 x}>0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$
Theo BĐT Jensen:
$\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}\geq f\left ( \frac{x_1+x_2+..+x_n}{n} \right )$
$\Leftrightarrow \frac{\tan x_1+...+\tan x_n}{n}\geq \tan \left ( \frac{x_1+x_2+..+x_n}{n} \right )$

b) Do $ A,B,C$ là các góc của của một tam giác nên: $A,B,C \in (0;\pi)$
$\Leftrightarrow \frac{A}{2}, \frac{B}{2},\frac{C}{2} \in (0;\frac{\pi}{2})$
Theo câu (a), ta có: $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2} \geq 3\tan\frac{A+B+C}{6}=\sqrt{3}$

Bài 104924

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104924

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan