Bài 104886

Question

Cho phương trình bậc hai : $x^2-2(m+1)x-m(m-2)=0$ ( $m$ là tham số)
1)   Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$
2)   Hãy tìm một hệ thức giữa ${x_1},{x_2}$ không phụ thuộc vào m
3)   Xác định $m$ để nghiệm lớn nhất của phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/19/2012 10:57:05 AM

$1)$    Phương trình có biệt số thu gọn
${\Delta ^'} = {\left( {m + 1} \right)^2} + m\left( {m - 2} \right) = 2{m^2} + 1 > 0$
Vậy với mọi m, nó luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$

$2) $ Theo các hệ thức Viét, ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\
{x_1}{{\rm{x}}_2} = - {m^2} + 2m
\end{array} \right.$
Để có một hệ thức giữa ${x_1},{x_2}$ không phụ thuộc $m$, ta hãy khử $m$ ra khỏi hai hệ thức trên.
Muốn vậy, ta suy ra từ hệ thức thứ nhất.
    $m = \frac{{{x_1} + {x_2} - 2}}{2}$
Sau đó thế giá trị này của m vào hệ thức thứ hai thì được
    ${x_1}{{\rm{x}}_2} = - \left( {\frac{{{x_1} + {x_2} - 2}}{2}} \right) + {x_1} + {x_2} - 2$
Đó là hệ thức phải tìm.

3)    Phương trình có hai nghiệm:
${x_1} = m + 1 - \sqrt {2{m^2} + 1} ,{x_2} = m + 1 + \sqrt {2{m^2} + 1} $
Thế thì ${x_2}$ là nghiệm lớn nhất.
Xem hàm số   $f\left( m \right) = m + 1 + \sqrt {2{m^2} + 1} $
Được xác định với mọi $m \in R$.
Nó có đạo hàm   ${f^'}\left( m \right) = 1 + \frac{{4m}}{{2\sqrt {2{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt {2{m^2} + 1} + 2m}}{{\sqrt {2{m^2} + 1} }}$
Để lập được bảng biến thiên của $f\left( m \right)$, ta hãy tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho ${f^'}\left( m \right) \ge 0$ tức là :
    $\sqrt {2{m^2} + 1} + 2m \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {2{m^2} + 1} \ge - 2m$            $(1)$
(các giá trị còn lại của m sẽ làm cho ${f^'}\left( m \right) < 0$)
Hiển nhiên $(1)$ được nghiệm đúng với mọi $m \ge 0$
Xét $m < 0$. Thế thì hai vế của $(1)$ đều dương, ta có thể bình phương.
    $2{m^2} + 1 \ge 4{m^2} \Leftrightarrow 1 \ge 2{m^2} \Leftrightarrow {m^2} \le \frac{1}{2} \Rightarrow \left| m \right| \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
Ta đang xét $m < 0$ tức là $\left| m \right| = - m$, vậy ta có:
    $ - m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \le m < 0$
( dấu = xảy ra khi $m = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$)
Từ các kết quả trên, suy ra bảng biến thiên của $m$
Thành thử nghiệm lớn ${x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ khi $m = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Bài 104886

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104886

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan