Bài 104871

Question

Định các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm đúng $ \forall x\in R$.
$\left( x-2 \right)^{2} +2|x-m|-3 \geq 0(*)$

score 0 · Answer 1

$\left( x-2 \right)^{2} +2|x-m|-3 \geq 0(*)$
Trường hợp $(1)$ : $x \geq m (*)$ trở thành $x^{2} -4x+4+2x-2m-3 \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} -2x+1-2m \geq 0$
Vế trái: $\Delta'= 1-1+2m=2m$
Nếu $m \leq 0, x^{2} -2x +1-2m \geq 0 \forall x \in R$
Nếu $m>0,$ vế trái có hai nghiệm phân biệt:
$ x_{1} = 1- \sqrt{ 2}; x_{2} = 1+ \sqrt{ 2m}$
Để $x^{2} -2x +1-2m \geq 0 \forall x \geq m $ thì $x_{2} \leq m$
$\Leftrightarrow a+ \sqrt{ 2m} \leq m \Leftrightarrow \sqrt{ 2m} \leq m-1 \Leftrightarrow \begin{cases} m \geq 1 \\   2m \leq m^{2}-2m +1 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} m \geq 1 \\   m^{2}-4m+1 \geq 0 \end{cases} $
Hợp với $m \leq 0$ được $m \leq 0$ hay $m \geq 2 + \sqrt{ 3}$ $(1)$
Trường hợp $(2): x<m : (*) $ trở thành $x^{2} -4x+4+2 \left( -x+m \right) -3 \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} -6x +1+2m \geq 0$
Vế trái có $ \Delta ' =9-1-2m =8-2m$
Nếu $m \geq 4: x^{2} -6x+1+2m \geq 0 \forall x \in R$
Nếu $m<4$ vế trái có hai nghiệm phân biệt
$x_{3}=3- \sqrt{ 8-2m}, x_{4}=3+ \sqrt{ 8-2m}$
Để $x^{2} -6x+1+2mlb 0 \forall x< m $ thì $ m \leq x_{3} \Leftrightarrow m \leq 3- \sqrt{ 8-2m}$
$\Leftrightarrow \sqrt{ 8-2m} \leq 3-m \Leftrightarrow \begin{cases} m \leq 3 \\ 8-2m \leq 9 -6m +m^{2} \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}   m \leq 3 \\ m^{2}-4m+1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m \leq 3    \\ m \leq 2 - \sqrt{ 3}, m \geq 2+ \sqrt{ 3} \end{cases} $
Hợp với $m \geq 4$ được $\left[ \begin{array}{l} m \leq 2 -\sqrt{ 3} \\ m \geq 4 \end{array} \right.$
Giao hai Trường hợp $(1)$ và $(2)$ : $ m \leq 0$ hay $m \geq 4$

Bài 104871

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104871

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan