Bài 101414

Question

Tìm các giá trị

$m$ để bất phương trình sau đây có nghiệm :

$\begin{array}{l} 1)\,\,\,{3^{2x + 1}} - \left( {m + 3} \right){3^x} - 2\left( {m + 3} \right) < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ 2)\,\,{4^x} - \left( {2m + 1} \right){2^x} + {m^2} + m \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}$

score 0 · Answer 1

$1)$
TXĐ: R.
Đặt

$t = {3^x},t > 0$

$(1)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow PT f(t) = \,\, 3{t^2} - \left( {m + 3} \right)t - 2\left( {m + 3} \right) < 0$
có nghiệm

$t > 0$

$\begin{array}{l} Do a = 3 > 0,\Delta = \left( {m + 3} \right)\left( {m + 27} \right)\\ \end{array}$

$\Delta \le 0\,\,\,\,\, \Rightarrow f(t) \ge 0\,\,\,\,\,\,\forall m \in R\Rightarrow (1)$ vô nghiệm

$\begin{array}{l} \Delta > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 27\\ m > - 3 \end{array} \right.\\ f(t) < 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{t_1} < t < {t_2} \end{array}$
Ta có

$\,{\rm P} = {t_1}{t_{2\,\,}}\,\,\, = - \frac{2}{3}\left( {m + 3} \right),\,\,\,S = {t_1} + {t_2} = \frac{{m + 3}}{3}$
- Nếu

$m < - 27$ ta có

$\left\{ \begin{array}{l} {\rm P} < 0\\ S > 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,$

$\Rightarrow {t_1} < {t_2} < 0$

$(2)$ không có nghiệm dương nên

$(1)$ vô nghiệm.
- Nếu

$m > - 3$ ta có

$\left\{ \begin{array}{l} {\rm P} < 0\\ S > 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow$

${t_1} < 0 < {t_2}$

$f(t) < 0$ có nghiệm dương là

$0 < {t_1},{t_2}$ , do đó

$(1)$ có nghiệm.
Vậy với

$m > - 3$ thì

$(1)$ có nghiệm.

$2)$
Đặt

$t = {2^x},t > 0$

$(1)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow PT f(t) = \,\, {t^2} - \left( {2m + 1} \right)t +\left( {m^2 + m} \right) \geq 0$
có nghiệm

$t > 0$

$\begin{array}{l} Do a = 1 > 0,\Delta = 1\\ \end{array}$

$\Rightarrow \Delta>0\forall m.$

$\Rightarrow t=\frac{(2m+1)\pm\sqrt\Delta}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t_1=m\\ t_2=m+1 \end{array} \right.$
Đề bài thỏa mãn khi

$t_1\vee t_2$ dương.
Suy ra

$m>-1.$
ĐS :

$m>-1\,$ ,

$(2)$ có nghiệm.

Bài 101414

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101414

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan