|
|
$1)$
TXĐ: R.
Đặt $t = {3^x},t > 0$
$(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow PT f(t) = \,\, 3{t^2} - \left( {m + 3} \right)t - 2\left( {m + 3} \right) < 0$
có nghiệm $t > 0$
$\begin{array}{l}
Do a = 3 > 0,\Delta = \left( {m + 3} \right)\left( {m + 27} \right)\\
\end{array}$
$\Delta \le 0\,\,\,\,\, \Rightarrow f(t) \ge 0\,\,\,\,\,\,\forall m \in R\Rightarrow (1)$ vô nghiệm
$\begin{array}{l}
\Delta > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < - 27\\
m > - 3
\end{array} \right.\\
f(t) < 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{t_1} < t < {t_2}
\end{array}$
Ta có $\,{\rm P} = {t_1}{t_{2\,\,}}\,\,\, = - \frac{2}{3}\left( {m + 3} \right),\,\,\,S = {t_1} + {t_2} = \frac{{m + 3}}{3}$
- Nếu $m < - 27$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}
{\rm P} < 0\\
S > 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,$$ \Rightarrow {t_1} < {t_2} < 0$
$(2)$ không có nghiệm dương nên $(1)$ vô nghiệm.
- Nếu $m > - 3$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}
{\rm P} < 0\\
S > 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow $${t_1} < 0 < {t_2}$
$f(t) < 0$ có nghiệm dương là $0 < {t_1},{t_2}$, do đó $(1)$ có nghiệm.
Vậy với $m > - 3 $ thì $(1)$ có nghiệm.
$2)$
Đặt $t = {2^x},t > 0$
$(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow PT f(t) = \,\, {t^2} - \left( {2m + 1} \right)t +\left( {m^2 + m} \right) \geq 0$
có nghiệm $t > 0$
$\begin{array}{l}
Do a = 1 > 0,\Delta = 1\\
\end{array}$
$\Rightarrow \Delta>0\forall m.$
$\Rightarrow t=\frac{(2m+1)\pm\sqrt\Delta}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t_1=m\\ t_2=m+1 \end{array} \right.$
Đề bài thỏa mãn khi $t_1\vee t_2$ dương.
Suy ra $m>-1.$
ĐS : $m>-1\,$,$(2)$ có nghiệm.
|