Bài 104842

Question

Cho ba số thực $a,b,c$ không âm. Chứng minh rằng:
$a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$.

score 0 · Answer 1

Cách $1$:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta nhận xét rằng:
    $ \displaystyle a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}(a^4+b^4)+\frac{1}{2}(b^4+c^4)+\frac{1}{2}(c^4+a^4)$
                                   $\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
                                             $ \displaystyle =\frac{1}{2}a^2(b^2+c^2)+\frac{1}{2}b^2(a^2+c^2)+\frac{1}{2}c^2(a^2+b^2)$
                                                  $\geq a^2bc+b^2ac+c^2ab=abc(a+b+c)$, đpcm.
Dấu $"="$ xảy ra khi : $\begin{cases}a^4=b^4=c^4 \\ a^2=b^2=c^2 \end{cases}\Leftrightarrow a=b=c$

Cách $2$:
Ta có: $a^4+a^4+b^4+c^4\geq 4\sqrt[4]{a^8b^4c^4}=4a^2bc$
Tương tự, $2b^4+a^4+c^4 \geq 4ab^2c$ và $2c^4+a^4+b^4\geq 4abc^2$
Suy ra: $4(a^4+b^4+c^4)\geq 4abc(a+b+c)\Leftrightarrow (a^4+b^4+c^4)\geq abc(a+b+c)$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c$

Bài 104842

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104842

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan