Bài 104759

Question

Chứng minh rằng từ bốn số cho trước luôn luôn có thể chọn ra được hai số $x,y$ sao cho.
$0 \le \frac{x - y}{1 + xy} \le 1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/18/2012 2:27:37 PM

Giả sử ${x_1} \le {x_2} \le {x_3} \le {x_4}$ là bốn số cho trước.
Đặt ${x_1} = \tan {y_1},{x_2} = \tan {y_2},{x_3} = \tan {y_3},{x_4} = \tan {y_4}$
Khi đó: $ - \frac{\pi }{2} < {y_1} \le {y_2} \le {y_3} \le {y_4} < \frac{\pi }{2} < {y_1} + \pi $

Các điểm ${y_2},{y_3},{y_4}$ chia $\left[ {{y_1},{y_1} + \pi } \right]$ thành $4$ đoạn; có ít nhất một trong $4$ đoạn có độ dài không vượt quá $\frac{\pi }{4}$, chẳng hạn $\left[ {{y_1};{y_2}} \right]$
$ \Rightarrow 0 \le {y_2} - {y_1} \le \frac{\pi }{4} \Rightarrow 0 \le \tan \left( {{y_2} - {y_1}} \right) \le 1 (*)$
Từ đó ta chọn $x = {x_2},y = {x_1}$.
Ta có: $\tan \left( {{y_2} - {y_1}} \right) = \frac{{\tan {y_2} - \tan {y_1}}}{{1 + \tan {y_2}\tan {y_1}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{1 + {x_2}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}}} = \frac{{x - y}}{{1 + xy}}$
Do $(*)$ ta có $0 \le \frac{{x - y}}{{1 + xy}} \le 1$
Trường hợp ${y_1} + \pi - {y_4} \le \frac{\pi }{4}$ ta có $\tan \left( {{y_1} + \pi - {y_4}} \right) = \tan \left( {{y_1} - {y_4}} \right)$

Bài 104759

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104759

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan