Bài 104750

Question

Dùng định lý Lagrăng, chứng minh các BĐT sau:
    1) $|sinx-siny|\leq |x-y| \forall x,y$
    2) $\frac{\alpha-\beta}{cos^2\beta}\leq \tan \alpha-\tan \beta\leq \frac{\alpha-\beta}{cos^2\alpha}$ với $0<\beta\leq \alpha<\frac{\pi}{2}$
    3) $\frac{1}{{1997}} < \ln \frac{{1997}}{{1996}} < \frac{1}{{1996}}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/18/2012 2:05:55 PM

Nhắc lại định lí Lagrăng :
Nếu $f(x)$có đạo hàm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$, thì với $\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right)$ đều $\exists {x_o}$ kẹp giữa ${x_1},{x_2}$ sao cho:
$\frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = {f'}({x_o})$, hoặc $f({x_2}) - f({x_1}) = {f^'}({x_o})\left( {{x_2} - {x_1}} \right)$             $(1)$
Người ta nghĩ tới công thức Lagrăng $(1)$ khi nào gặp các hiệu số.
    $f({x_2}) - f({x_1}),f(x) - f(y),f(\alpha ) - {f^'}(\beta ),...$

$1)$    Coi $f(x) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx }} \Rightarrow {{\rm{f}}^{\rm{'}}}(x) = c{\rm{osx }}$ theo $(1)$ ta có
$\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx - siny}}} \right| = \left| {x - y} \right|.\left| {c{\rm{os}}{{\rm{x}}_{\rm{o}}}} \right| \le \left| {x - y} \right|$    (ĐPCM)

$2)$    Đối với $f(x) = tg{\rm{x }} \Rightarrow {\rm{ }}{{\rm{f}}^{\rm{'}}}(x) = \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}$ xét trong khoảng $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$, ta có:
$tg\alpha - tg\beta = \left( {\alpha - \beta } \right).\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{x_o}}}$
Dễ thấy rằng do ${x_o}$ kẹp giữa $\beta < \alpha $ nên
    $\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\beta }} < \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{x_o}}} < \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\alpha }}$   (ĐPCM)

$3)$    Áp dụng đẳng thức $\ln a - \ln b = (a - b).\frac{1}{{{x_o}}}$ ta có:
$\ln\frac{1997}{1996}=\frac{1}{x_0}$ với $1996<x_0<1997\Rightarrow \frac{1}{1997}<\ln\frac{1997}{1996}<\frac{1}{1996}$ (ĐPCM)

Bài 104750

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104750

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan