Bài 104722

Question

Tính tích phân:
$I = \int\limits_0^1 {\left( {1 + x}\right)^ndx\,\,\,(x \in {N^*})} $
Từ đó chứng minh rằng:
$1 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + \frac{1}{4}C_n^3 + ... + \frac{1}{{n +
1}}C_n^n = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}$

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Tính $I$ :
$\int\limits_0^1 {{{\left( {1 + x} \right)}^n}dx} = \int\limits_1^2 {{t^n}dt} = \frac{{{2^{n +
1}} - 1}}{{n + 1}}$
Và ${\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}} $
$ \Rightarrow I = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .\frac{{{x^{k + 1}}}}{{k + 1}}\left|
\begin{array}{l}1\\0
\end{array} \right. = 1 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n +
1}}C_n^n$
Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Bài 104722

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104722

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan