Bài 104712

Question

Tìm $a$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi $x$ : $x^4+ax^3-(2a+1)x^2+ax+1>0 (1)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/18/2012 11:13:52 AM

Vì $x = 0$ thỏa mãn $( 1 )$ nên ta xét $x \ne 0$, khi đó $(1)$ tương đương với
    ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + a\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - (2{{a + 1) > 0 , }}\forall {{x }} \ne {{ 0}}$                $(2)$
Đặt ${{t = }}x + \frac{1}{x},\left| t \right| \ge 2$, khi đó $(2)$ trở thành:
    $f(t) = {t^2} + at - (2{{a + 3) > 0, }}\left| {{t}} \right| \ge 2$                    $(3)$
Vế trái có $\Delta = {a^2} + 4(2{{a + 3) = (a + 2) (a + 6)}}$
$(2)$ thỏa mãn với mọi $x \ne 0 \Leftrightarrow $ $(3)$ thỏa mãn với mọi t : $\left| t \right| \ge 2$

Xét các trường hợp sau:
+)      $\Delta < 0 \Leftrightarrow - 6 < a < - 2:f(t) > 0,\forall t $
$\Rightarrow (3)$ luôn thỏa mãn $\Delta = 0 \Leftrightarrow a =- 6,a =- 2$
Với $a = - 6$, hoành độ đỉnh của parabon $f(t)$ là ${t_o} = \frac{{ - a}}{2} = 3$, khi đó $f({t_o}) = 0 $
$\Rightarrow (3)$ không thỏa mãn.
Với $a = - 2,{t_o} = - \frac{a}{2} = 1$ , $f(0) = 0 \Rightarrow (3)$ luôn thỏa mãn.
+)      $\Delta > 0 \Leftrightarrow a < - 6,a > - 2$ $(4)$. Để $(3)$ luôn thỏa mãn cần có thêm điều kiện:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{t_o}} \right| = \frac{{\left| a \right|}}{2} < 2\\
f( - 2) > 0\\
f(2) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4 < a < 4\\
f( - 2) = - 4{{a + 1 > 0 }} \Leftrightarrow {{ - 4 < a < }}\frac{{{1}}}{{{4}}}\\
{{f(2)   = 1 > 0}}
\end{array} \right.$
Kết hợp $(4)$ ta có $ - 2 < a < \frac{1}{4}$

Kết luận : $a$ cần tìm là $ - 6 < a < \frac{1}{4}$

Bài 104712

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104712

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan