Bài 104702

Question

Chứng minh rằng với mọi $x > 0$, ta đều có $x-\frac{x^3}{6}<sinx<x$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/18/2012 10:52:57 AM

* Đặt $f(x) = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$, ta có ${f'}(x) = 1 - c{\rm{osx }} \ge {\rm{0 }} \Rightarrow {\rm{ f(x) }}$ đồng biến.
Ta có $f(0) = 0 \Rightarrow f(x) > 0,\forall x > 0$ tức là $x > {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx, }} \forall {\rm{x > 0}}{\rm{.}}$

* Đặt $g(x) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx - }}\left( {{\rm{x - }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}}}{{\rm{6}}}} \right)$
ta có ${g'}(x) = c{\rm{osx - 1 + }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{2}}}$ , ${g^{''}}(x) = - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + x }} \ge {\rm{ 0}}$ (theo phần trên)
$ \Rightarrow {g^'}(x)$ đồng biến với $x \ge 0$.
Ta có ${g^'}(x) = 0 \Rightarrow {g^'}(x) \ge 0,\forall x \ge 0 \Rightarrow g(x)$ đồng biến với $x \ge 0$.
Do $g(0) = 0$ nên $g(x) > 0,\forall x > 0$, tức là ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx > x - }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}}}{{\rm{6}}} \forall {\rm{x > 0}}{\rm{.}}$

Bài 104702

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104702

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan