Bài 104699

Question

Chứng minh rằng nếu $0 \le x,y,z \le \pi $ thì
$a)\frac{sinx+siny}{2} \le \sin (\frac{x+y}{2})$
$b)\frac{sinx+siny+sinz}{3} \le \sin (\frac{x+y+z}{3})$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/18/2012 10:50:25 AM

a) Ta có:
Do $0 \le x,y \le \pi \Rightarrow 0 \le \left( {x + y} \right)/2 \le \pi , - \frac{\pi }{2} \le x - y \le \frac{\pi }{2}$
$ \Rightarrow \sin \frac{{x + y}}{2} \ge 0,1 \ge c{\rm{os }}\frac{{{\rm{x - y}}}}{{\rm{2}}} \ge 0$
$\Rightarrow \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + siny}}}}{{\rm{2}}} = \sin \frac{{x + y}}{2}.c{\rm{os }}\frac{{{\rm{x - y}}}}{{\rm{2}}} \le \sin \frac{{x + y}}{2}$

b) Đặt $\frac{{x + y + z}}{3} = t$, ta có $0 \le t \le \pi $, theo phần $a)$ ta có:
$\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + siny}}} \right) + \left( {\sin {\rm{z + sint}}} \right) \le 2\left( {\sin \frac{{x + y}}{2} + \sin \frac{{z + t}}{2}} \right)$
Lại do $0 \le \frac{{x + y}}{2},\frac{{z + t}}{2} \le \pi $ nên theo $a)$ ta có:
${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + siny + sinz + sint }} \le {\rm{ 4sin }}\frac{{\frac{{{\rm{x + y}}}}{{\rm{2}}} + \frac{{z + t}}{2}}}{2} = \sin t$
$ \Rightarrow \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + siny + sinz}}}}{{\rm{3}}} \le \sin t = \sin \frac{{x + y + z}}{3}$

Bài 104699

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104699

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan