Bài 104656

Question

Cho $a$ và $b$ là hai số thực tùy ý.Chứng minh rằng
$\left( {{a^{10}} + {b^{10}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge \left( {{a^8} + {b^8}} \right)\left( {{a^4} + {b^4}} \right)$ (1)

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/18/2012 9:39:24 AM

Ta có
$(1) \Leftrightarrow {a^{12}} + {b^{12}} + {a^{10}}{b^2} + {b^{10}}{a^2} \ge {a^{12}} + {b^{12}} + {a^8}{b^4} + {b^8}{a^4}$
   $ \Leftrightarrow {a^{10}}{b^2} + {b^{10}}{a^2} \ge {a^8}{b^4} + {b^8}{a^4}$                   $ (2)$
Vì với $a = 0$ hoặc $b = 0$, hoặc $a = b = 0$ $(2)$ được thỏa mãn nên xét $ab \ne 0$ ta có:
$(2) \Leftrightarrow \frac{{{a^{10}}{b^2} + {b^{10}}{a^2}}}{{{a^6}{b^6}}} \ge \frac{{{a^8}{b^4} + {b^8}{a^4}}}{{{a^6}{b^6}}}$
    $ \Leftrightarrow \frac{{{a^4}}}{{{b^4}}} + \frac{{{b^4}}}{{{a^4}}} \ge \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\left( {ab \ne 0} \right)$                    $(3)$
Đặt $u = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} > 0$ thì $(3)$ trở thành :
${u^2} + \frac{1}{{{u^2}}} \ge u + \frac{1}{u}\left( {u > 0} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {u - \frac{1}{{{u^2}}}} \right) \ge 0\left( {u > 0} \right)$                $(4)$
Như vậy, chứng minh $(1)$ dần về chứng minh $(4)$
a) Với $u \ge 1$ ta có $u - 1 \ge 0$, $u - \frac{1}{{{u^2}}} \ge 0$ nên $(4)$ được thỏa mãn.
b) Với $0 < u < 1$ ta có $u - 1 < 0,u - \frac{1}{{{u^2}}} < 0$ nên $(4)$ được thỏa mãn

Vậy $(1)$ đúng

Bài 104656

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104656

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan