Bài 104627

Question

Xác định tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm:
$\sqrt{7-x}+\sqrt{2+x}-\sqrt{(7-x)(2+x)}=m (1)$

score 0 · Answer 1

Giải
Điều kiện: $-2\leq x \leq 7$
Đặt $u=\sqrt{7-x}, v=\sqrt{2+x}$
      $(1) \Leftrightarrow \begin{cases}u^2+v^2=9 \\ u+v-uv=m \\ u\geq0, v\geq 0 \end{cases}$
Đặt $S=u+v, p=u.v$. Khi đó
$(1) \Leftrightarrow \begin{cases}S^2-21=9 \\ S-P=m \end{cases} \Leftrightarrow S^2-2S-9+2m=0     (2)$
$(2)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta'\geq0 \Leftrightarrow 1+9-2m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 5$
Khi đó $(2)$ có nghiệm $S=1 \pm \sqrt{10-2m}$
Để có nghiệm $x$ ta phải có: $\begin{cases}S\geq 0 \\ P=S-m \geq 0 \\ S^2-4P\geq 0\end{cases}$
*Trường hợp 1: $S=1+\sqrt{10-2m}\geq m$
Ta có: $1+\sqrt{10-2m} \geq m \Leftrightarrow \sqrt{10-2m}\geq m-1 (3)$
- Nếu $m\leq1$: Bất phương trình thỏa mãn với $\forall x \in (-2;7)$
- Nếu $m\geq1: (3) \Leftrightarrow 10-2m \geq m^2-2m+1 \Leftrightarrow m^2\leq 9\Leftrightarrow m\leq3$
     $S^2-4P\geq 0 \Leftrightarrow 2m+7 \geq 2\sqrt{10-2m} \Leftrightarrow \begin{cases}m\geq -\frac{7}{2} \\ m^2+9m+\frac{9}{4}\geq 0 \end{cases}$
           $m\geq \frac{-9+6\sqrt{2}}{2}$
Vậy $\frac{-9+6\sqrt{2}}{2}\leq m \leq 3$
* Trường hợp 2: $S=1-\sqrt{10-2m}$
$S\geq0 \Leftrightarrow 1\geq \sqrt{10-2m} \Leftrightarrow m\geq \frac{9}{2}$
Khi đó $S \leq 1 \Leftrightarrow S\leq m$ (loại)
Vậy để phương trình có nghiệm thì ta phải có: $\frac{-9+6\sqrt{2}}{2}\leq m\leq3$
( Có thể đặt $t=\sqrt{7-x}+\sqrt{2+x}$, tìm điều kiện của $t$ bằng khảo sát hàm, rồi giải)

Bài 104627

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104627

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan