Bài 104587

Question

Cho $0<a<b<\frac{\pi}{2}$.Chứng minh rằng:
$a)\frac{b-a}{\cos ^{2} a}<\tan b-\tan a<\frac{b-a}{\cos ^{2} b}$
$b)|arccot a- arccot b|<|a-b|$

score 0 · Answer 1

a)Xét: $f(x)=\tan x, x \in (a,b)$
Theo định lý Lagrange:$\exists c \in (a,b)$
$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
$\Rightarrow \tan b-\tan a=\frac{b-a}{\cos ^{2} c} (1)$
Vì: $0<a<c<b<\frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow \cos a> \cos c> \cos b>0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\cos ^{2} a}<\frac{1}{\cos ^{2} c}<\frac{1}{\cos ^{2} b}$
$\Leftrightarrow \frac{b-a}{\cos ^{2} a}<\frac{b-a}{\cos ^{2} c}<\frac{b-a}{\cos ^{2} b} (2)$
Từ $(1),(2)\Rightarrow \frac{b-a}{\cos ^{2} a}<\tan b-\tan a<\frac{b-a}{\cos ^{2} b}$
b)Xét: $f(x)=arccot x , x \in (a,b) $
$f'(x)=\frac{-1}{1+x ^{2} }$
Theo định lý Lagrange:$\exists c \in (a,b)$
$f(b)-f(a)=f'(c)(a-b)$
$\Rightarrow |arccot a- arccot b|=\frac{1}{1+c ^{2} }|a-b|<|a-b|$
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

Bài 104587

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104587

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan