Bài 104571

Question

1)    Chứng minh: ${a^4} + {b^4} + {c^4} \ge abc(a + b + c)$
2)    Với $a,b,c \ge 0$, chứng minh:   $ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) \ge 6abc$
3)    Với $a,b,c \ge 0$, chứng minh:   $3({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge (a + b + c)(ab + bc + ca)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/17/2012 2:22:30 PM

1) Nhắc lại BĐT quen thuộc $ \forall X, Y, Z $ thì $ X^2+Y^2+Z^2 \ge XY+YZ+ZX$.
Áp dụng BĐT này liên tiếp ta có:
${a^4} + {b^4} + {c^4} \ge (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 \ge ab.bc + bc.ca + ca.ab
       = abc(a + b + c)$
2)    Ta có :
$\begin{array}{l}
ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) \ge 2ab\sqrt {ab} + 2bc\sqrt {bc} + 2ca\sqrt {ca} = \\
2[{(\sqrt {ab} )^3} + {(\sqrt {bc} )^3} + {(\sqrt {ac} )^3}] \ge 2.3\sqrt[3]{{(\sqrt {ab} )^3}.{(\sqrt {bc} )^3}.{(\sqrt {ac} )^3}} = 6abc
\end{array}$
3)
VP = $(a + b + c)(ab + bc + ac) \le (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2})$
Sẽ chứng minh:
$(a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2}) \le 3({a^3} + {b^3} + {c^3})(*)$
Thật vậy
(*)$\Leftrightarrow {a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {a^2}c + a{c^2} \le 2({a^3} + {b^3} + {c^3})$
$\Leftrightarrow ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) \le 2({a^3} + {b^3} + {c^3})$
Ta có ${a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} + {b^2} - ab) \ge (a + b)ab$
Tương tự : ${a^3} + {c^3} \ge (a + c)ac$
                    ${b^3} + {c^3} \ge (b + c)bc$
Do đó, cộng từng vế ba bất đẳng thức này sẽ có bất đẳng thức cần chứng minh.

Bài 104571

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104571

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan