Bài 104330

Question

$1$ . Giải hệ phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{x^2} + x + y + 1} + x + \sqrt {{y^2} + x + y + 1} + y = 18\\ \sqrt {{x^2} + x + y + 1} - x + \sqrt {{y^2} + x + y + 1} - y = 2 \end{array} \right.$

$2$ . Trong các nghiệm (

$x;y$ ) của bất phương trình:

${\log _{{x^2} + 2{y^2}}}\left( {2x + y} \right) \ge 1$
hãy chỉ ra nghiệm có tổng

$2x + y$ lớn nhất.

score 0 · Answer 1

$1.$ Cộng hai phương trình ta được

$\sqrt{x^2+x+y+1}+\sqrt{y^2+x+y+1}=10 (1)$
Thế vào phương trình đầu ta được

$x+y=8 (2)$
Thế

$(2)$ vào

$(1)$ :

$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{y^2+9}=10 (3)$
Đặt

$t=x-4$ thì

$x=4+t$ và

$y=4-t$ , thế vào

$(3)$ :

$\sqrt{t^2+8t+25}+\sqrt{t^2-8t+25}=10$
Bình phương

$2$ vế và rút gọn :

$\sqrt{(t^2+25)^2-64t^2}=25-t^2$

$\Leftrightarrow \begin{cases}25-t^2\geq 0 \\ (t^2+25)^2-64t=(25-t^2)^2 \end{cases}\Leftrightarrow t=0$
Hệ có nghiệm duy nhất

$x=y=4$

$2.$ Biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

$log_{x^2+2y^2}(2x+y)\geq 1 (1)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x^2+2y^2>1 (A) \\ 2x+y\geq x^2+2y^2 \end{cases}\\\begin{cases}0<x^2+2y^2<1\\ 0<2x+y\leq x^2+2y^2 (B) \end{cases}\end{array} \right.$
Xét

$T=2x+y$ với

$(x;y)$ là một nghiệm

$(1)$
- Nếu

$(x;y)$ thỏa mãn

$(B)$ thì

$T=2x+y\leq x^2+2y^2<1\Rightarrow T<1$
- Nếu

$(x;y)$ thỏa mãn

$(A)$ thì

$x^2+2y^2\leq 2x+y$

$\Leftrightarrow (x-1)^2+(\sqrt{2}y-\frac{1}{2\sqrt{2}})^2\leq \frac{8}{9}$
Theo bunhiacopxki :

$[2(x-1)+\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2}y-\frac{1}{2\sqrt{2}})]^2\leq \frac{8}{9}[(x-1)^2+\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2}y-\frac{1}{2\sqrt{2}})]^2$

$\leq \frac{8}{9}.\frac{9}{2}=\frac{9^2}{16}$

$\Rightarrow 2x+y-9/4\leq 9/4\Rightarrow T\leq 9/4$
Vậy

$T\leq 9/2,\forall (x,y)$ nghiệm đúng

$(1)$

$T=\frac{9}{2}\Leftrightarrow \begin{cases}2x+y=\frac{9}{2} \\ \frac{x-1}{2}=\frac{\sqrt{2}y-\frac{1}{2\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \end{cases}$
Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tính được

$x=2, y=1/2$ . Kiểm tra trực tiếp thấy

$x=2, y=1/2$ thỏa mãn

$(A)$ , do đó nghiệm của

$(1)$ làm cho

$T=2x+y$ lớn nhất

Bài 104330

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104330

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan