Bài 101230

Question

Xác định tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình sau đây có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}x + m\tan y = m\\
\tan ^{2}y + m\sin x = m
\end{array} \right.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 9:28:32 AM

Đặt $u = \sin x;v = \tan y         \left( { - 1 \le u \le 1; - \infty < v < + \infty } \right)$
Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}
{u^2} + mv = m\\
{v^2} + mu = m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
v = u\\
m = \frac{{ - {u^2}}}{{u - 1}}     \left( 1 \right)
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
v = m - u\\
{u^2} - mu + {m^2} - m = 0       \left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Xét hàm số $f\left( u \right) = \frac{{ - {u^2}}}{{u - 1}}\left( { - 1 \le u < 1} \right) \Rightarrow f'\left( u \right) = \frac{{ - {u^2} + 2u}}{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}}}$
Ta có bảng biến thiên

Do đó với $\forall m \ge 0$, $(1)$ có nghiệm $u \in \left[ { - 1,1} \right.)$
$ \Rightarrow $ Hệ có nghiệm $\forall m < 0$ thì $(1)$ không có nghiệm nào thuộc $[-1, 1]$ còn $(2)$ có $\Delta = - 3{m^2} + 4m < 0 \Rightarrow \left( 2 \right)$ vô nghiệm
Suy ra hệ vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm $ \Leftrightarrow m \ge 0$

Bài 101230

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101230

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan