Bài 104210

Question

Cho hệ phương trình:
$\begin{cases}\sqrt{ x}+\sqrt{ y}=a \\ x+y-\sqrt{ xy}=a \end{cases} $
a/ Giải hệ khi $a=3$
b/ Định a để hệ có nghiệm.

score 0 · Answer 1

$\begin{cases}\sqrt{ x}+\sqrt{ y}=a(1) \\ x+y-\sqrt{ xy}=a (2)\end{cases} $
$(1) \Rightarrow a\geq 0$
$ \sqrt{ x} + \sqrt{ y} =a \Rightarrow \begin{cases}x+y+2 \sqrt{ xy}=a^{2} \\ x+y- \sqrt{ xy}=a \end{cases} $
$ \Rightarrow \sqrt{ xy}=\frac{a^{2}-a}{3} \Rightarrow a^{2}-a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 0$ hay $a\geq 1 \Rightarrow a=0$ hay $a \geq 1$
a/ khi $a=3: \sqrt{ xy}=\frac{9-3}{3}=2$
$\begin{cases}\sqrt{ x} + \sqrt{ y}=3 \\ \sqrt{ xy}=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{ x}=1 \\ \sqrt{ y}=2 \end{cases} $ hay $\begin{cases}\sqrt{ x}=2 \\ \sqrt{ y}=1 \end{cases} $
$\Rightarrow \begin{cases}x =1\\ y=4 \end{cases} $ hay $ \begin{cases}x=4 \\ y=1 \end{cases} $
b/ nếu $a=0: $ hệ có nghiệm $ x=0, y=0$
nếu $a=1: \begin{cases}\sqrt{ x}+ \sqrt{ y}=1 \\ \sqrt{ xy}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=0 \end{cases} $ hay $\begin{cases}x=0 \\ y=1 \end{cases} $
nếu $a >1: \begin{cases}\sqrt{ x}+ \sqrt{ y} =a \\ \sqrt{ xy}=\frac{a^{2}-a}{3} \end{cases} $
$ \Rightarrow \sqrt{ x}, \sqrt{ y} $lần lượt là các nghiệm của phương trình:
$X^{2}-aX+\frac{a^{2}-a}{3}=0 \Leftrightarrow 3X^{2}-3aX+a^{2}-a=0$
$\Delta = 9a^{2}-12 \left(a^{2}-a\right) =12a-3a^{2}3a \left(4-a\right) $
để phương trình có nghiệm thì $ \Delta \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq a \leq 4$
trường hợp $ a=4: \begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y} =4 \\ \sqrt{xy}=4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x}=2 \\ \sqrt{y}=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x =4 \\ y=4 \end{cases} $
Kết luận: để hệ có nghiệm thì $a=0$ hay $1 \leq a \leq 4$

Bài 104210

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104210

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan