Bài 104181

Question

Cho $\triangle ABC$.Gọi $m_{a},m_{b},m_{c}$ lầm lượt là $3$ trung tuyến của tam giác, xuất phát từ $A,B,C$ và $BC=a,CA=b,AB=c$.
Chứng minh rằng:
$a)\frac{a}{m_{a}}+\frac{b}{m_{b}}+\frac{c}{m_{c}} \geq 2\sqrt{3}$
$b)\frac{m_{a}}{a}+\frac{m_{b}}{b}+\frac{m_{c}}{c} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

score 0 · Answer 1

a)Ta có:
$4 m_{a}^{2}=2(b^{2}+c^{2})-a^{2}$
$\Rightarrow (2 m_{a})^{2}+(a\sqrt{3})^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\Rightarrow 2.2 m_{a}a\sqrt{3} \leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$(theo BĐT Cauchy)
$\Rightarrow \frac{a}{m_{a}}\geq \frac{2\sqrt{3}a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow m_{a}=\frac{a\sqrt{3} }{2} $
Chứng minh tương tự:
$ \frac{b}{m_{b}}\geq \frac{2\sqrt{3}b^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$ \frac{c}{m_{c}}\geq \frac{2\sqrt{3}c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\Rightarrow \frac{a}{m_{a}}+\frac{b}{m_{b}}+\frac{c}{m_{c}} \geq 2\sqrt{3} $
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{m_{a}}{a}=\frac{m_{b}}{b}=\frac{m_{c}}{c}=\frac{\sqrt{3} }{2} $
$\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều
b)Theo câu (a):
$2 m_{a}a\sqrt{3} \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\Rightarrow \frac{m_{a}}{a} \geq \frac{2\sqrt{3}m_{a}^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Chứng minh tương tự:
$\frac{m_{b}}{b} \geq \frac{2\sqrt{3}m_{b}^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\frac{m_{c}}{c} \geq \frac{2\sqrt{3}m_{c}^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\Rightarrow \frac{m_{a}}{a}+ \frac{m_{b}}{b}+\frac{m_{c}}{c} \geq \frac{2\sqrt{3}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3} }{2}$
(vì $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều
*Chú ý:
$ \frac{m_{a}}{a}=\frac{m_{b}}{b}=\frac{m_{c}}{c}=\frac{\sqrt{3} }{2}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}4m_{a}^{2}=3a^{2} \\ 4m_{b}^{2}=3b^{2} \\ 4m_{c}^{2}=3c^{2} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}2(b^{2}+c^{2})-a^{2}=3a^{2} \\ 2(c^{2}+a^{2})-b^{2}=3b^{2} \\ 2(a^{2}+b^{2})-c^{2}=3c^{2} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}b^{2}+c^{2}=2a^{2} \\ c^{2}+a^{2}=2b^{2} \\ a^{2}+b^{2}=2c^{2} \end{cases}$
$\Leftrightarrow a^{2}=b^{2}=c^{2} \Leftrightarrow a=b=c$
$\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều
*Do:$\begin{cases}4 m_{a}^{2}=2(b^{2}+c^{2})-a^{2}\\ 4 m_{b}^{2}=2(c^{2}+a^{2})-b^{2} \\ 4 m_{c}^{2}=2(a^{2}+b^{2})-c^{2}\end{cases}$
$\Leftrightarrow 4(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\Leftrightarrow m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Bài 104181

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104181

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan