|
|
Gọi $T$ là tập giá trị của hàm số $D$ là miền xác định.
Để $[0, 1] \subset T$ là : $\left\{ \begin{array}{l}
0 \in T\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
1 \in T\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.$
• $0 \in T \Leftrightarrow \exists x\in D : $$\frac{x+!}{x^2+a}=0\Leftrightarrow (-1)^2+a\neq 0\Leftrightarrow a\neq -1$
• $1 \in T \Leftrightarrow \exists $x$\in D$ : $\frac{{x + a}}{{{x^2} + a}} = 1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + a \ne 0\\
x + 1 = {x^2} + a\,\,\,\,\,có nghiệ m
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ne 0\\
{x^2} - x + a - 1 = 0\,\,\,\,\,có nghiệ m
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne - 1\\
\Delta = 1 - 4(a - 1) \ge 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \le \frac{5}{4}\\
a \ne - 1
\end{array} \right.$
Vậy điều kiện để $[0, -1]$ chứa trong $T$ là $a \leq \frac{5}{4}$ và $a \neq -1$
Đảo lại, khi $a \leq \frac{5}{4}$ và $a \neq -1$. Ta chứng minh $[0, 1]\subset T$
Xét $\frac{{x + 1}}{{{x^2} + a}} = y \Leftrightarrow {\rm{y}}{{\rm{x}}^2} - x + ay - 1 = 0$ ($3)$
$\forall y \in (0, 1) : \triangle = 1 – 4y(ay – 1) = -4ay^2 + 4y + 1$
Nếu $a \leq 0, a \neq -1 \Rightarrow \triangle > 0, y \in (0, 1)$
Phương trình ($3$) có nghiệm phân biệt :
${x_1} = \frac{{1 - \sqrt \Delta }}{{2y}}$, ${x_2} = \frac{{1 + \sqrt \Delta }}{{2y}}$
thì ít nhất một trong $2$ nghiệm
$ x_1, x_2
$ thỏa điều kiện xác định của hàm số $x^2 + a \neq 0$
Nếu $0 < a \leq \frac{5}{4}$ thì miền xác định $D = R$
$\triangle = -4ay2 +4y +1 = f(y), \delta ' = 4 + 4{\rm{a}} > 0$
Vì hàm số bậc hai $f(y)$ có hệ số $-4a < 0.$
$ \Rightarrow $đồ thị lồi trong khoảng $(0, 1)$
$ \Rightarrow min[f(0), f(1)] = min[1, 5 – 4a] \geq 0$
$\Rightarrow \triangle = f(y) 0, y \in (0, 1)$
Tóm lại, $\forall y \in [0, 1$], phương trình $\frac{{x + 1}}{{{x^2} + a}} = y$ luôn luôn có nghiệm $x \in D
\Leftrightarrow [0, 1] \subset T$
|