|
|
Gọi T là tập giá trị của hàm số D là miền xác định.
Để [0,1]⊂T là : {0∈T(1)1∈T(2)
• 0∈T⇔∃x∈D:x+!x2+a=0⇔(−1)2+a≠0⇔a≠−1
• 1∈T⇔∃x∈D : x+ax2+a=1
⇔{x2+a≠0x+1=x2+acónghiệm ⇔{x+1≠0x2−x+a−1=0cónghiệm
⇔{x≠−1Δ=1−4(a−1)≥0 ⇔{a≤54a≠−1
Vậy điều kiện để [0,−1] chứa trong T là a≤54 và a≠−1
Đảo lại, khi a≤54 và a≠−1. Ta chứng minh [0,1]⊂T
Xét x+1x2+a=y⇔yx2−x+ay−1=0 (3)
\forall y \in (0, 1) : \triangle = 1 – 4y(ay – 1) = -4ay^2 + 4y + 1
Nếu a \leq 0, a \neq -1 \Rightarrow \triangle > 0, y \in (0, 1)
Phương trình (3) có nghiệm phân biệt :
{x_1} = \frac{{1 - \sqrt \Delta }}{{2y}}, {x_2} = \frac{{1 + \sqrt \Delta }}{{2y}}
thì ít nhất một trong 2 nghiệm
x_1, x_2
thỏa điều kiện xác định của hàm số x^2 + a \neq 0
Nếu 0 < a \leq \frac{5}{4} thì miền xác định D = R
\triangle = -4ay2 +4y +1 = f(y), \delta ' = 4 + 4{\rm{a}} > 0
Vì hàm số bậc hai f(y) có hệ số -4a < 0.
\Rightarrow đồ thị lồi trong khoảng (0, 1)
\Rightarrow min[f(0), f(1)] = min[1, 5 – 4a] \geq 0
\Rightarrow \triangle = f(y) 0, y \in (0, 1)
Tóm lại, \forall y \in [0, 1], phương trình \frac{{x + 1}}{{{x^2} + a}} = y luôn luôn có nghiệm x \in D \Leftrightarrow [0, 1] \subset T
|