|
|
Gọi T là tập giá trị của hàm số D là miền xác định.
Để [0,1]⊂T là : {0∈T(1)1∈T(2)
• 0∈T⇔∃x∈D:x+!x2+a=0⇔(−1)2+a≠0⇔a≠−1
• 1∈T⇔∃x∈D : x+ax2+a=1
⇔{x2+a≠0x+1=x2+acónghiệm ⇔{x+1≠0x2−x+a−1=0cónghiệm
⇔{x≠−1Δ=1−4(a−1)≥0 ⇔{a≤54a≠−1
Vậy điều kiện để [0,−1] chứa trong T là a≤54 và a≠−1
Đảo lại, khi a≤54 và a≠−1. Ta chứng minh [0,1]⊂T
Xét x+1x2+a=y⇔yx2−x+ay−1=0 (3)
∀y∈(0,1):△=1–4y(ay–1)=−4ay2+4y+1
Nếu a≤0,a≠−1⇒△>0,y∈(0,1)
Phương trình (3) có nghiệm phân biệt :
x1=1−√Δ2y, x2=1+√Δ2y
thì ít nhất một trong 2 nghiệm
x1,x2 thỏa điều kiện xác định của hàm số x2+a≠0
Nếu 0<a≤54 thì miền xác định D=R
△=−4ay2+4y+1=f(y),δ′=4+4a>0
Vì hàm số bậc hai f(y) có hệ số −4a<0.
⇒đồ thị lồi trong khoảng (0,1)
⇒min[f(0),f(1)]=min[1,5–4a]≥0
⇒△=f(y)0,y∈(0,1)
Tóm lại, ∀y∈[0,1], phương trình x+1x2+a=y luôn luôn có nghiệm x∈D⇔[0,1]⊂T
|