|
Gọi T là tập giá trị của hàm số D là miền xác định. Để [0,1]⊂T là : {0∈T(1)1∈T(2) • 0∈T⇔∃x∈D:x+!x2+a=0⇔(−1)2+a≠0⇔a≠−1 • 1∈T⇔∃x∈D : x+ax2+a=1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + a \ne 0\\ x + 1 = {x^2} + a\,\,\,\,\,có nghiệ m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 1 \ne 0\\ {x^2} - x + a - 1 = 0\,\,\,\,\,có nghiệ m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 1\\ \Delta = 1 - 4(a - 1) \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \le \frac{5}{4}\\ a \ne - 1 \end{array} \right. Vậy điều kiện để [0, -1] chứa trong T là a \leq \frac{5}{4} và a \neq -1 Đảo lại, khi a \leq \frac{5}{4} và a \neq -1. Ta chứng minh [0, 1]\subset T Xét \frac{{x + 1}}{{{x^2} + a}} = y \Leftrightarrow {\rm{y}}{{\rm{x}}^2} - x + ay - 1 = 0 (3) \forall y \in (0, 1) : \triangle = 1 – 4y(ay – 1) = -4ay^2 + 4y + 1 Nếu a \leq 0, a \neq -1 \Rightarrow \triangle > 0, y \in (0, 1) Phương trình (3) có nghiệm phân biệt : {x_1} = \frac{{1 - \sqrt \Delta }}{{2y}}, {x_2} = \frac{{1 + \sqrt \Delta }}{{2y}} thì ít nhất một trong 2 nghiệm
x_1, x_2
thỏa điều kiện xác định của hàm số x^2 + a \neq 0 Nếu 0 < a \leq \frac{5}{4} thì miền xác định D = R \triangle = -4ay2 +4y +1 = f(y), \delta ' = 4 + 4{\rm{a}} > 0 Vì hàm số bậc hai f(y) có hệ số -4a < 0. \Rightarrow đồ thị lồi trong khoảng (0, 1) \Rightarrow min[f(0), f(1)] = min[1, 5 – 4a] \geq 0 \Rightarrow \triangle = f(y) 0, y \in (0, 1) Tóm lại, \forall y \in [0, 1], phương trình \frac{{x + 1}}{{{x^2} + a}} = y luôn luôn có nghiệm x \in D \Leftrightarrow [0, 1] \subset T
|