Bài 103696

Question

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $m_a + m_b + m_c \le r_a + r_b + r_c$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 10:09:08 AM

Ta có: ${r_a} + {r_b} + {r_c} = 4R + r$ (Xem cách chứng minh hệ thức này ở câu a) Bài 103664)
Vậy: ${m_a} + {m_b} + {m_c} \le {r_a} + {r_b} + {r_c}$ $ \Leftrightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} \le 4R + r$

Nếu $\Delta ABC$ nhọn . Từ $O$, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác hạ từ $OH, OI, OK$ lần lượt vuông góc với $BC, AC, AB$. Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{m_a} = AH \le AO + OH = R + OH\\
{m_b} = BI \le BO + OI = R + OI\\
{m_c} = CK \le CO + OK = R + OK
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} \le 3R + \left( {OH + OI + OK} \right)\ \underbrace{=}_{\text{Bài 103692}} 3R + R + r = 4R + r
\end{array}$

Nếu $\Delta ABC$ không nhọn. Giả sử $A \ge {90^o}$, vẫn như trường hợp tam giác nhọn ta kí hiệu $H, I, K$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB$ . Ta có: ${m_a} \le \frac{a}{2}$
Xét các tam giác $BKI, CIK$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{m_b} = BI < BK + KI = \frac{c}{2} + \frac{a}{2}\\
{m_c} = CK < CI + IK = \frac{b}{2} + \frac{a}{2}
\end{array} \right.$
Suy ra: ${m_a} + {m_b} + {m_c} < 2a + \frac{1}{2}\left( {b + c - a} \right)$
    $\begin{array}{l}
= 2a + \left( {p - a} \right) = 2a + r\cot\frac{A}{2}
\le 2.2R + r\cot{45^o}\\
= 4R + r
\end{array}$
$\Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} < 4R+r$

Tóm lại: ${m_a} + {m_b} + {m_c} \le 4R + r = {r_a} + {r_b} + {r_c}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

Bài 103696

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103696

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan