Bài 103643

Question

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $R_m \ge \frac{{a^2 + b^2 + c^2}}{{2\left(a + b + c \right)}}$
Trong đó $R_m$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh là $m_a;m_b;m_c$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 9:05:18 AM

Ta có bất đẳng thức với $M$ là điểm bất kỳ, $MA.GA + MB.GB + MC.GC \ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$
Thật vậy,
$MA.GA +MB.GB + MC.GC \ge \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{GC} =$
$ \left ( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right ).\overrightarrow{GA}+ \left ( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \right ).\overrightarrow{GB}+ \left ( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right ).\overrightarrow{GC}=G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$
Cho $M \equiv O$ (tâm đường tròn ngoại tiếp), ta có:
    $R \ge \frac{{G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}}}{{GA + GB + GC}} \Rightarrow R \ge \frac{2}{3}\frac{{{m_a}^2 + {m_b}^2 + {m_c}^2}}{{{m_a} + {m_b} + {m_c}}}$
Áp dụng bất đẳng thức trên cho tam giác có ba cạnh ${m_a},{m_b},{m_c}$ với ba trung tuyến tương ứng là $\frac{3}{4}a,\frac{3}{4}b,\frac{3}{4}c$
Ta có:
    ${R_m} \ge \frac{2}{3}\frac{{{{\left( {\frac{3}{4}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}b} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}c} \right)}^2}}}{{\frac{3}{4}a + \frac{3}{4}b + \frac{3}{4}c}} \Rightarrow {R_m} \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

Bài 103643

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103643

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan