Bài 103618

Question

Cho ba tia

$Ox,Oy,Oz$ không đồng phẳng.
a. Đặt

$\widehat{xOy}=\alpha, \widehat{yOz}=\beta ,\widehat{zOx}=\gamma$ . Chứng minh rằng:

$\cos \alpha+\cos\beta+\cos\gamma>\frac{-3}{2}$ .
b. Gọi

$Ox_1,Oy_1,Oz_1$ lần lượt là các tia phân giác của các góc ,

$\widehat{xOy},\widehat{yOz},\widehat{zOx}$ . Chứng minh rằng nếu

$Ox_1, Oy_1$ vuông góc với nhau thì

$Oz_1$ vuông góc với cả

$Ox_1$ và

$Oy_1$ .

score 0 · Answer 1

Lấy các điểm

$A,B,C$ lần lượt thuộc các tia

$Ox,Oy,Oz$ sao cho:

$OA=OB=OC$ .
Đặt

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$ .
a. Từ điều kiện

$Ox,Oy,Oz$ không đồng phẳng, suy ra:

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^2>0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{b}^2+\overrightarrow{c}^2+2(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\overrightarrow{a})>0$

$\Leftrightarrow 3OA^2+2OA^2(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma )>0\\\Leftrightarrow OA^2(3+2( \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)) >0\\\Leftrightarrow 3+2(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)>0\\\Leftrightarrow \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma >\frac{-3}{2}$
b.Nhận xét rằng:
- Vectơ

$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ có giá song song với

$Ox_1$ .
- Vectơ

$(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ có giá song song với

$Oy_1$ .
- Vectơ

$(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA})$ có giá song song với

$Oz_1$ .
Từ giả thiết

$Ox_1$ và

$Oy_1$ vuông góc với nhau , ta có:

$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=0\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}^2=0$
Khi đó, ta lần lượt có:

$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}^2=0$ .

$\Leftrightarrow Oz_1$ vuông góc với cả

$Ox_1$ .

$(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}^2=0$ .

$\Leftrightarrow Oz_1$ vuông góc với cả

$Oy_1$ .

Bài 103618

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103618

1 Đáp án

Liên quan

VECTO TRONG KHÔNG GIAN, SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTO

Lý thuyết liên quan