|
|
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;1)$ và bán kính $R=2\sqrt{5}$.
Để xác định phương trình tiếp tuyến, ta có ba cách giải sau:
Cách 1: Đường thẳng $(d)$ với hệ số góc $k=2$ có dạng:
$$y=2x+m\Leftrightarrow (d):2x-y+m=0 (1)$$
Đường thẳng $(d)$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$
$$\Leftrightarrow d_{({I},{(d)})}=R\Leftrightarrow \frac{|4-1+m|}{\sqrt{4+1}}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow |m+3|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m_1=7 \\m_2 = -13\end{array} \right.$$
* Với $m_1=7$, thay vào $(1)$ được tiếp tuyến $(d_1):2x-y+7=0$
* Với $m_2=-13$, thay vào $(1)$ được tiếp tuyến $(d_2):2x-y-13=0$
Vậy có hai tiếp tuyến là $(d_1),(d_2)$ của $(C)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cách 2: Giả sử tiếp điểm là $M(x_0;y_0)$, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
$$(d):(x-2)(x_0-2)+(y-1)(y_0-1)=20$$
$$\Leftrightarrow (d):(x_0-2)x+(y_0-1)y-2x_0-y_0-15=0 (1)$$
Vì $M(x_0;y_0)\in (C)$
$$\Leftrightarrow (x_0-2)^2+(y_0-1)^2=20 (2)$$
Đường thẳng $(d)$ có hệ số góc bằng $2$ khi và chỉ khi:
$$-\frac{x_0-2}{y_0-1}=2\Leftrightarrow x_0-2=-2(y_0-1) (3)$$
Giải hệ phương trình tạo bởi $(2),(3)$ ta được: $\left[ \begin{array}{l}x_0=-2,y_0 = 3\\x_0 = 6,y_0=-1\end{array} \right.$
* Với $M_1(-2;3)$, thay vào $(1)$ ta được tiếp tuyến $(d_1):2x-y+7=0$
* Với $M_2(6;-1)$, thay vào $(1)$ ta được tiếp tuyến $(d_2):2x-y-13=0$
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến $(d_1),(d_2)$ tới $(C)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cách 3: Họ tiếp tuyến $(d_1)$ của $(C)$ có dạng:
$(d_1):(x-2)\sin t+(y-1)\cos t=2\sqrt{5} (1)$
Đường thẳng $(d)$ có hệ số góc bằng $2$ khi và chỉ khi:
$-\frac{\sin t}{\cos t}=2\Leftrightarrow \sin t=-2\cos t \overset{\sin^2 t+\cos^2 t=1}{\rightarrow} \begin{cases}\sin t =-2\cos t \\ 4\cos^2 t+\cos^2 t=1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\sin t=-2\cos t \\ \cos t= \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos t =\frac{1}{\sqrt{5}},\sin t= -\frac{2}{\sqrt{5}}\\ \cos t= -\frac{1}{\sqrt{5}},\sin t=\frac{2}{\sqrt{5}}\end{array} \right.$
* Với $\cos t=\frac{1}{\sqrt{5}},\sin t=-\frac{2}{\sqrt{5}}$, thay vào $(1)$ ta được: $(d_1):2x-y+7=0$ và tọa độ tiếp điểm $M_1(-2;3)$.
* Với $\cos t=-\frac{1}{\sqrt{5}},\sin t=\frac{2}{\sqrt{5}}$, thay vào $(1)$ ta được: $(d_2):2x-y-13=0$ và tọa độ tiếp điểm $M_2(6;-1)$.
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến $(d_1),(d_2)$ tới đường tròn $(C)$ thỏa mãn đề bài.
|